ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить сумму:

\(
3^n + C(n, 1) 3^{n-1} 2^1 + C(n, 2) 3^{n-2} 2^2 + \ldots + C(n, n-1) 3^1 2^{n-1} + 2^n
\)

\(
S = 3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n;
\)

\(
S = (3 + 2)^n = 5^n;
\)

Ответ:

\(
5^n.
\)

Необходимо вычислить сумму:

\(
S = 3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n;
\)

Эта сумма представляет собой разложение выражения \((3 + 2)^n\) по биному Ньютона. Формула бинома Ньютона записывается следующим образом:

\(
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k,
\)

где:
\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) — число сочетаний,
\(a\) и \(b\) — элементы, которые складываются,
\(n\) — степень.

В данном случае \(a = 3\), \(b = 2\), \(n\) — степень, а \(k\) — индекс суммирования. Разложение выражения \((3 + 2)^n\) по биному Ньютона даёт:

\(
(3 + 2)^n = 3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n.
\)

Таким образом, сумма:

\(
S = (3 + 2)^n = 5^n.
\)

Ответ:

\(
5^n.
\)