ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить сумму:

\(
S = \sum_{k=0}^{100} (-1)^k C(100, k)
\)

Вычислить сумму:

\(
S = C_0^{100} — C_1^{100} + C_2^{100} — C_3^{100} + \dots + C_{100}^{100};
\)

\(
S = (1 + (-1))^{100} = 0^{100} = 0;
\)

Ответ: 0.

Необходимо вычислить сумму:

\(
S = C_0^{100} — C_1^{100} + C_2^{100} — C_3^{100} + \dots + C_{100}^{100}.
\)

Эта сумма представляет собой разложение выражения \((1 + (-1))^{100}\) по биному Ньютона. Формула бинома Ньютона записывается следующим образом:

\(
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k,
\)

где:
\(
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\) — число сочетаний,
\(
a
\) и \(
b
\) — элементы, которые складываются,
\(
n
\) — степень.

В данном случае \(
a = 1
\), \(
b = -1
\), \(
n = 100
\). Разложение выражения \((1 + (-1))^{100}\) по биному Ньютона даёт:

\(
(1 + (-1))^{100} = C_0^{100} \cdot 1^{100} \cdot (-1)^0 + C_1^{100} \cdot 1^{99} \cdot (-1)^1 + C_2^{100} \cdot 1^{98} \cdot (-1)^2 +
\)
\(
+ \dots + C_{100}^{100} \cdot 1^0 \cdot (-1)^{100}.
\)

Заметим, что каждый член этой суммы чередуется по знаку:
первый положительный, второй отрицательный, третий положительный и так далее.

Однако \((1 + (-1)) = 0\), поэтому:

\(
(1 + (-1))^{100} = 0^{100} = 0.
\)

Таким образом, сумма:

\(
S = 0.
\)

Ответ:

\(
0.
\)