ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить сумму:

\(
S = 2^{300} — \frac{300!}{1!(300-1)!} 2^{299} + \frac{300!}{2!(300-2)!} 2^{298} — \frac{300!}{3!(300-3)!} 2^{297} + \ldots —
\)
\(
— \frac{300!}{299!(300-299)!} 2 + 1.
\)

Вычислить сумму:

\(
S = 2^{300} — C_{100} 2^{299} + C_{300} 2^{298} — C_{300} 2^{297} + \dots — C_{300} 2 + 1;
\)

\(
S = (2 + (-1))^{300} = 1^{300} = 1;
\)

Ответ: 1.

Необходимо вычислить сумму:

\(
S = 2^{300} — C_{100} 2^{299} + C_{300} 2^{298} — C_{300} 2^{297} + \dots — C_{300} 2 + 1.
\)

Эта сумма представляет собой разложение выражения \((2 + (-1))^{300}\) по биному Ньютона. Формула бинома Ньютона записывается следующим образом:

\(
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k,
\)

где:
\(
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\) — число сочетаний,
\(
a
\) и \(
b
\) — элементы, которые складываются,
\(
n
\) — степень.

В данном случае \(
a = 2
\), \(
b = -1
\), \(
n = 300
\). Разложение выражения \((2 + (-1))^{300}\) по биному Ньютона даёт:

\(
(2 + (-1))^{300} = C_0^{300} \cdot 2^{300} \cdot (-1)^0 + C_1^{300} \cdot 2^{299} \cdot (-1)^1 +
\)
\(
+ C_2^{300} \cdot 2^{298} \cdot (-1)^2 + \dots + C_{300}^{300} \cdot 2^0 \cdot (-1)^{300}.
\)

Заметим, что каждый член этой суммы чередуется по знаку:
первый положительный, второй отрицательный, третий положительный и так далее.

Однако \((2 + (-1)) = 1\), поэтому:

\(
(2 + (-1))^{300} = 1^{300} = 1.
\)

Таким образом, сумма:

\(
S = 1.
\)

Ответ:

\(
1.
\)