ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:

\(
1 + C_{100}^1 \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100} =
\)
\(
= 5^{100} — C_{100}^1 \cdot 5^{99} + C_{100}^2 \cdot 5^{98} — \dots — C_{100}^{99} \cdot 5 + 1.
\)

Доказать равенство:

\(
S_1 = 1 + C_{100}^3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100};
\)

\(
S_2 = 5^{100} — C_{100}^5 \cdot 5^{99} + C_{100}^2 \cdot 5^{98} — \dots — C_{100}^{99} \cdot 5 + 1;
\)

\(
S_1 = (1 + 3)^{100} = 4^{100};
\)

\(
S_2 = (5 — 1)^{100} = 4^{100};
\)

\(
S_1 = S_2;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

\(
S_1 = 1 + C_{100}^3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100};
\)

\(
S_2 = 5^{100} — C_{100}^5 \cdot 5^{99} + C_{100}^2 \cdot 5^{98} — \dots — C_{100}^{99} \cdot 5 + 1;
\)

Для доказательства равенства \( S_1 = S_2 \), заметим, что обе суммы являются разложениями степеней числа \( 4^{100} \) согласно биному Ньютона.

Рассмотрим \( S_1 \).
Сумма \( S_1 \) представляет собой разложение бинома Ньютона для выражения \( (1 + 3)^{100} \):
\(
S_1 = (1 + 3)^{100} = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 1^{100-k} \cdot 3^k.
\)
При этом каждый член суммы имеет вид \( C_{100}^k \cdot 3^k \), начиная с \( k = 0 \) до \( k = 100 \).
Таким образом, \( S_1 = 4^{100} \).

Рассмотрим \( S_2 \).
Сумма \( S_2 \) представляет собой разложение бинома Ньютона для выражения \( (5 — 1)^{100} \):
\(
S_2 = (5 — 1)^{100} = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^k \cdot 5^{100-k} \cdot (-1)^k.
\)
При этом каждый член суммы чередует знак, начиная с \( k = 0 \) до \( k = 100 \).
Таким образом, \( S_2 = 4^{100} \).

Поскольку \( S_1 = 4^{100} \) и \( S_2 = 4^{100} \), то \( S_1 = S_2 \).

Что и требовалось доказать.