ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:
\(
1 + C_{100}^1 \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100} =
\)
\(
= 1 — C_{200}^1 \cdot 3 + C_{200}^2 \cdot 3^2 — \dots — C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + 3^{200}.
\)

Доказать равенство:
\(
S_1 = 1 + C_{100}^3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100};
\)
\(
S_2 = 1 — C_{200}^3 + C_{200}^2 \cdot 3^2 — \dots — C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + 3^{200};
\)

\(
S_1 = (1 + 3)^{100} = 4^{100} = 2^{200};
\)
\(
S_2 = (1 — 3)^{200} = 2^{200};
\)

\(
S_1 = S_2;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Рассмотрим выражение для \(S_1\):
\(
S_1 = 1 + C_{100}^1 \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100}.
\)
Это есть разложение бинома Ньютона:
\(
S_1 = (1 + 3)^{100}.
\)
Вычислим значение:
\(
S_1 = 4^{100}.
\)
Так как \(4 = 2^2\), то:
\(
S_1 = (2^2)^{100} = 2^{200}.
\)

Теперь рассмотрим выражение для \(S_2\):
\(
S_2 = 1 — C_{200}^1 \cdot 3 + C_{200}^2 \cdot 3^2 — \dots — C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + 3^{200}.
\)
Это также разложение бинома Ньютона, но для \((1 — 3)^{200}\):
\(
S_2 = (1 — 3)^{200}.
\)
Вычислим значение:
\(
S_2 = (-2)^{200}.
\)
Так как степень \(200\) чётная, то:
\(
S_2 = 2^{200}.
\)

Таким образом, мы получили:
\(
S_1 = 2^{200}, \quad S_2 = 2^{200}.
\)
Следовательно:
\(
S_1 = S_2.
\)

Что и требовалось доказать.