ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В выражении \((5^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{1}{4}})^{800}\) раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Сколько рациональных слагаемых было получено?

1) Число рационально:
\((\sqrt[3]{5})^n \in \mathbb{R}\);
\(n \in \mathbb{Z}\);
\(n = 3k\);

2) Число рационально:
\((\sqrt[4]{2})^{800-n} \in \mathbb{R}\);
\(\frac{800 — n}{4} \in \mathbb{Z}\);
\(800 — n = 4t\);
\(n = 800 — 4t\);

3) Искомые числа:
\(n = 800 — 4 \cdot 3k\);
\(n = 800 — 12k\);

4) Количество таких чисел:
\(800 — 12k \leq 800, \, 12k \geq 0, \, k \geq 0;\)
\(800 — 12k \geq 0, \, 12k \leq 800, \, k \leq 66;\)

Ответ: 67.

Дано выражение:

\(
\left(\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2}\right)^{800}
\)

1. Число рационально, если:

\(
\left(\sqrt[3]{5}\right)^n \in \mathbb{R}
\)

Для этого \(n \in \mathbb{Z}\), и \(n\) должно быть кратным \(3\), то есть:

\(
n = 3k
\)

где \(k \in \mathbb{Z}\).

2. Число рационально, если:

\(
\left(\sqrt[4]{2}\right)^{800-n} \in \mathbb{R}
\)

Для этого \(800 — n\) должно быть кратным \(4\), то есть:

\(
\frac(800 — n)(4) \in \mathbb{Z}
\)

Отсюда следует:

\(
800 — n = 4t
\)

где \(t \in \mathbb{Z}\). Тогда:

\(
n = 800 — 4t
\)

3. Искомые значения \(n\) должны удовлетворять одновременно условиям \(n = 3k\) и \(n = 800 — 4t\). Таким образом, \(n\) должно быть представлено в виде:

\(
n = 800 — 4 \cdot 3k
\)

или:

\(
n = 800 — 12k
\)

где \(k \in \mathbb{Z}\).

4. Количество таких чисел определяется из условий:

\(
800 — 12k \leq 800, \quad 12k \geq 0, \quad k \geq 0
\)

и:

\(
800 — 12k \geq 0, \quad 12k \leq 800, \quad k \leq 66
\)

Таким образом, \(k\) принимает значения от \(0\) до \(66\) включительно, то есть:

\(
k = 0, 1, 2, \dots, 66
\)

Количество таких значений равно:

\(
66 — 0 + 1 = 67
\)

Ответ:

\(
67
\)