ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найти такое значение \(n\), при котором восьмой член разложения выражения

\(
\left(x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x^2}\right)^n
\)

по формуле бинома Ньютона не зависит от \(x\).

Дано выражение:
\((\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2})^n\)

Восьмой член разложения:
\(C_n^7 \cdot (\sqrt[3]{x})^{n-7} \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right)^7 = C_n^7\)

\(\frac{x^{\frac{n-7}{3}}}{x^{2 \cdot 7}} = x^0;\)

\(\frac{n-7}{3} — 14 = 0;\)

\(n — 7 = 42;\)

\(n = 49;\)

Ответ: \(49\).

Дано выражение:
\(
\left(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}\right)^n
\)

Разложим данное выражение по формуле бинома Ньютона:
\(
\left(a + b\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k,
\)
где \(C_n^k\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Восьмой член разложения (\(k=7\)) имеет вид:
\(
C_n^7 \cdot \left(\sqrt[3]{x}\right)^{n-7} \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right)^7.
\)

Чтобы этот член не зависел от \(x\), необходимо, чтобы общая степень \(x\) в произведении была равна нулю. Найдём степень \(x\) в выражении:
1. Рассмотрим первую часть:
\(
\left(\sqrt[3]{x}\right)^{n-7}.
\)
Корень третьей степени можно записать как степень:
\(
\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, \quad \left(\sqrt[3]{x}\right)^{n-7} = x^{\frac{n-7}{3}}.
\)

2. Рассмотрим вторую часть:
\(
\left(\frac{1}{x^2}\right)^7.
\)
Возведение дроби в степень даёт:
\(
\frac{1}{x^2} = x^{-2}, \quad \left(\frac{1}{x^2}\right)^7 = x^{-2 \cdot 7} = x^{-14}.
\)

Таким образом, общая степень \(x\) в восьмом члене разложения равна:
\(
\frac{n-7}{3} — 14.
\)

Приравниваем эту степень к нулю, так как член должен быть независим от \(x\):
\(
\frac{n-7}{3} — 14 = 0.
\)

Решаем уравнение:
1. Переносим \(14\) в правую часть:
\(
\frac{n-7}{3} = 14.
\)

2. Умножаем обе части на 3:
\(
n-7 = 42.
\)

3. Находим \(n\):
\(
n = 42 + 7 = 49.
\)

Ответ:
\(
n = 49.
\)