ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В выражении \(\left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\right)^{22}\) раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какой член разложения можно представить в виде \(cx^2\), где \(c\) — некоторая постоянная?

Дано выражение:
\(
\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{22}
\)

Член, имеющий вид \(cx^2\):
\(
C_{22}^n \cdot (\sqrt{x})^{22-n} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^n = C_{22}^n x^2;
\)

\(
x^{\frac{1}{2}(22-n)} \cdot x^{-\frac{1}{2}n} = x^2;
\)

\(
x^{11-\frac{n}{2}-\frac{n}{2}} = x^2;
\)

\(
11 — \frac{n}{2} — \frac{n}{2} = 2;
\)

\(
11 — n = 2;
\)

\(
44 — 2n — n = 8;
\)

\(
3n = 36;
\)

\(
n = 12;
\)

Ответ: тринадцатый.

Дано выражение:
\(
\left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\right)^{22}
\)

Необходимо найти член разложения, который можно представить в виде \(cx^2\), где \(c\) — некоторая постоянная.

Общий вид члена разложения
Согласно формуле бинома Ньютона, любой член разложения имеет следующий вид:
\(
C_{22}^n \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{22-n} \cdot \left(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\right)^n
\)

Объединим степени \(x\):
\(
\left(\sqrt{x}\right)^{22-n} = x^{\frac{1}{2}(22-n)}
\)
\(
\left(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\right)^n = x^{-\frac{1}{4}n}
\)

Таким образом, общий вид степени \(x\) в данном члене разложения:
\(
x^{\frac{1}{2}(22-n)} \cdot x^{-\frac{1}{4}n} = x^{\frac{1}{2}(22-n) — \frac{1}{4}n}
\)

Объединим степени:
\(
x^{\frac{1}{2}(22-n) — \frac{1}{4}n} = x^{11 — \frac{n}{2} — \frac{n}{4}}
\)

Условие задачи
Нам нужно, чтобы степень \(x\) была равна \(2\). Следовательно:
\(
11 — \frac{n}{2} — \frac{n}{4} = 2
\)

Решение уравнения
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(
11 — \frac{2n}{4} — \frac{n}{4} = 2
\)
\(
11 — \frac{3n}{4} = 2
\)

Вычислим:
\(
\frac{3n}{4} = 11 — 2 = 9
\)

Умножим обе стороны на \(4\):
\(
3n = 36
\)

Разделим обе стороны на \(3\):
\(
n = 12
\)

Номер члена разложения
Согласно формуле бинома Ньютона, номер члена разложения равен \(n+1\). Следовательно:
\(
\text{Номер члена разложения} = n + 1 = 12 + 1 = 13
\)

Ответ
Член разложения с номером \(13\) можно представить в виде \(cx^2\).