ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{В выражении } (x^4 + \frac{1}{x})^n \text{ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона.  }
\)
\(
\text{Известно, что шестой член разложения имеет вид } 56x^7. \text{ Найдите } n.
\)

Дано выражение:
\((x^4 + \frac{1}{x})^n\)

1) Шестой член разложения:
\(C_n^5 \cdot (x^4)^{n-5} \cdot (\frac{1}{x})^5 = C_n^5 \cdot x^7;\)
\(x^{4(n-5)} \cdot x^{-5} = x^7;\)
\(x^{(4n-20)-5} = x^7;\)
\(4n — 20 — 5 = 7;\)
\(4n = 32;\)
\(n = 8;\)

2) Выполним проверку:
\(C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2};\)
\(C_8^5 = 8 \cdot 7 = 56;\)

Ответ: 8.

Дано выражение:
\((x^4 + \frac{1}{x})^n\)

1) Шестой член разложения:
Общий член разложения бинома записывается в виде:
\(
C_n^k \cdot (x^4)^{n-k} \cdot (\frac{1}{x})^k
\)
где \(k+1\) — номер члена разложения.

Для шестого члена разложения \(k = 5\):
\(
C_n^5 \cdot (x^4)^{n-5} \cdot (\frac{1}{x})^5
\)

Упростим выражение:
\(
(x^4)^{n-5} = x^{4(n-5)}
\)
\(
(\frac{1}{x})^5 = x^{-5}
\)

Подставим в выражение:
\(
C_n^5 \cdot x^{4(n-5)} \cdot x^{-5} = C_n^5 \cdot x^{4(n-5) — 5}
\)

Шестой член должен содержать \(x^7\), то есть:
\(
4(n-5) — 5 = 7
\)

Решим уравнение:
\(
4n — 20 — 5 = 7
\)
\(
4n — 25 = 7
\)
\(
4n = 32
\)
\(
n = 8
\)

2) Выполним проверку:
Коэффициент \(C_8^5\) вычисляется по формуле:
\(
C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!}
\)

Расписываем факториалы:
\(
C_8^5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2}
\)

Сокращаем \(5!\):
\(
C_8^5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2}
\)

Выполним умножение и деление:
\(
C_8^5 = \frac{336}{6} = 56
\)

Таким образом, шестой член разложения:
\(
56 \cdot x^7
\)

Ответ: \(n = 8\).