ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколькими способами можно разложить n различных шаров по трём различным ящикам так, чтобы ни один ящик не остался пустым?

Способов разложить \(n\) различных шаров по трем различным ящикам:

1) Могут быть пустые ящики:
\(
N_1 = 3^n;
\)

2) Два ящика будут пустыми:
\(
N_2 = 3;
\)

3) Один ящик будет пустым:
\(
N_3 = 3 — (2^n — 2);
\)
\(
N_3 = 3 \cdot 2^n — 6;
\)

4) Не будет пустых ящиков:
\(
N = N_1 — (N_3 + N_2);
\)
\(
N = 3^n — (3 \cdot 2^n — 3);
\)
\(
N = 3^n — 3 \cdot 2^n + 3;
\)

Ответ:
\(
3^n — 3 \cdot 2^n + 3.
\)

Найти количество способов разложить \(n\) различных шаров по трём различным ящикам с учётом того, что некоторые ящики могут быть пустыми.

Шаг 1: Все ящики могут быть пустыми
Если мы не накладываем никаких ограничений на распределение шаров, то каждый шар может быть положен в один из трёх ящиков. Поскольку шаров \(n\), всего таких способов будет:
\(
N_1 = 3^n
\)
Здесь \(3^n\) означает, что каждый из \(n\) шаров имеет три варианта размещения.

Шаг 2: Два ящика пусты
Если два ящика остаются пустыми, то все \(n\) шаров должны быть размещены только в одном ящике. Поскольку ящиков три, мы можем выбрать любой из них для размещения шаров, то есть всего существует \(3\) способа:
\(
N_2 = 3
\)

Шаг 3: Один ящик пуст
Если один ящик остаётся пустым, то все \(n\) шаров распределяются между двумя оставшимися ящиками.

Общее количество способов распределения шаров между двумя ящиками, включая случай, когда один из них пуст, равно \(2^n\) (каждый шар может быть положен либо в первый, либо во второй ящик).

Однако нам нужно исключить случай, когда один из двух ящиков остаётся пустым. Для этого вычитаем из \(2^n\) два случая:
1. Все шары находятся в первом ящике.
2. Все шары находятся во втором ящике.

Каждый из этих случаев возможен только одним способом, поэтому вычитаем \(2\):
\(
N_3 = 2^n — 2
\)

Теперь умножаем на \(3\), так как пустым может быть любой из трёх ящиков:
\(
N_3 = 3 \cdot (2^n — 2)
\)
Раскрываем скобки:
\(
N_3 = 3 \cdot 2^n — 6
\)

Шаг 4: Ни один ящик не пуст
Чтобы найти количество способов распределения шаров так, чтобы ни один ящик не был пустым, нужно вычесть из общего количества \(N_1\) (все возможные распределения) те случаи, когда один или два ящика остаются пустыми.

Общее количество способов:
\(
N = N_1 — (N_3 + N_2)
\)
Подставляем значения:
\(
N = 3^n — (3 \cdot 2^n — 6 + 3)
\)
Упрощаем выражение:
\(
N = 3^n — 3 \cdot 2^n + 6 — 3
\)
\(
N = 3^n — 3 \cdot 2^n + 3
\)

Ответ:
Количество способов разложить \(n\) различных шаров по трём различным ящикам так, чтобы ни один ящик не был пустым:
\(
N = 3^n — 3 \cdot 2^n + 3
\)