ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколькими способами можно разложить n различных шаров по трём одинаковым ящикам так, чтобы ни один ящик не остался пустым?

Способов разложить \(n\) различных шаров по трём одинаковым ящикам:

1) Могут быть пустые ящики:
\(
N_1 = 3^n;
\)

2) Два ящика будут пустыми:
\(
N_2 = 3;
\)

3) Один ящик будет пустым:
\(
N_3 = 3 \cdot (2^n — 2);
N_3 = 3 \cdot 2^n — 6;
\)

4) Не будет пустых ящиков:
\(
N_4 = N_1 — (N_3 + N_2);
N_4 = 3^n — (3 \cdot 2^n — 3);
N_4 = 3^n — 3 \cdot 2^n + 3;
\)

5) Порядок ящиков не важен:
\(
N = \frac{N_4}{3!} = \frac{3^n — 3 \cdot 2^n + 3}{3 \cdot 2};
N = \frac{3^n — 3 \cdot 2^n + 3}{6};
N = \frac{3^{n-1} — 2^n + 1}{2};
\)

Ответ:
\(
\frac{3^{n-1} — 2^n + 1}{2}
\)

Способов разложить \(n\) различных шаров по трём одинаковым ящикам:

1) Могут быть пустые ящики:
\(
N_1 = 3^n
\)

Здесь учитывается, что каждый шар может быть помещён в любой из трёх ящиков, включая пустые ящики. Всего существует \(3^n\) способов.

2) Два ящика будут пустыми:
\(
N_2 = 3
\)

Если два ящика пусты, то все шары должны быть помещены в один ящик. Так как ящики одинаковые, существует только три способа выбора одного заполненного ящика.

3) Один ящик будет пустым:
\(
N_3 = 3 \cdot (2^n — 2)
\)
\(
N_3 = 3 \cdot 2^n — 6
\)

Здесь один ящик остаётся пустым, а два других используются для размещения шаров. Для каждого из двух ящиков существует \(2^n\) способов распределения шаров (каждый шар может быть помещён либо в первый, либо во второй ящик). Однако нужно исключить случаи, когда все шары оказываются в одном ящике (их два: все шары в первом или втором ящике). Так как ящики одинаковые, это умножается на количество возможных пустых ящиков (\(3\)).

4) Не будет пустых ящиков:
\(
N_4 = N_1 — (N_3 + N_2)
\)
\(
N_4 = 3^n — (3 \cdot 2^n — 3)
\)
\(
N_4 = 3^n — 3 \cdot 2^n + 3
\)

Для вычисления количества способов, при которых ни один ящик не остаётся пустым, из общего числа \(N_1\) исключаются случаи, где один или два ящика пусты (\(N_3 + N_2\)).

5) Порядок ящиков не важен:
\(
N = \frac{N_4}{3!}
\)
\(
N = \frac{3^n — 3 \cdot 2^n + 3}{3 \cdot 2}
\)
\(
N = \frac{3^n — 3 \cdot 2^n + 3}{6}
\)
\(
N = \frac{3^{n-1} — 2^n + 1}{2}
\)

Так как ящики одинаковые, порядок их заполнения не важен. Для получения количества уникальных распределений нужно разделить \(N_4\) на \(3!\), то есть на \(6\).

Ответ:
\(
\frac{3^{n-1} — 2^n + 1}{2}
\)