ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколькими способами можно разложить n различных шаров по трём одинаковым ящикам (некоторые ящики могут остаться пустыми)?

Способов разложить \(n\) различных шаров по трём одинаковым ящикам:

1) Могут быть пустые ящики:
\(
N_1 = 3^n
\)

2) Два ящика будут пустыми:
\(
N_2 = 3
\)

3) Один ящик будет пустым:
\(
N_3 = 3 \cdot (2^n — 2)
\)
\(
N_3 = 3 \cdot 2^n — 6
\)

4) Не будет пустых ящиков:
\(
N_4 = N_1 — (N_3 + N_2)
\)
\(
N_4 = 3^n — (3 \cdot 2^n — 3)
\)
\(
N_4 = 3^n — 3 \cdot 2^n + 3
\)

5) Порядок ящиков не важен:
\(
N_5 = \frac{N_4}{3!} = \frac{3^n — 3 \cdot 2^n + 3}{3 \cdot 2};
\)
\(
N_5 = \frac{3^{n-1} — 2^n + 1}{2}
\)

6) Два ящика будут пустыми:
\(
N_6 = 1;
\)

7) Один ящик будет пустым:
\(
N_7 = \frac{2^n}{2!} = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1};
\)

8) Могут быть пустые ящики:
\(
N = N_5 + N_6 + N_7 = \frac{3^{n-1} + 1}{2};
\)

Ответ:
\(
\frac{3^{n-1} + 1}{2}
\)

Способов разложить \(n\) различных шаров по трём одинаковым ящикам:

1) Могут быть пустые ящики:
\(
N_1 = 3^n
\)

2) Два ящика будут пустыми:
\(
N_2 = 3
\)

3) Один ящик будет пустым:
Сначала вычисляем количество способов разложить \(n\) шаров так, чтобы один ящик был пустым. Для этого выбираем один из трёх ящиков, который будет пустым (\(3\) способа), а оставшиеся два ящика могут содержать шары. Каждый шар может быть помещён либо в первый, либо во второй ящик (\(2^n\) способов). Однако из этих \(2^n\) способов необходимо исключить те случаи, когда все шары окажутся в одном ящике (\(2\) случая). Таким образом:
\(
N_3 = 3 \cdot (2^n — 2)
\)
Раскрываем скобки:
\(
N_3 = 3 \cdot 2^n — 6
\)

4) Не будет пустых ящиков:
Для вычисления \(N_4\) необходимо вычесть из общего числа способов (\(N_1 = 3^n\)) случаи, когда один или два ящика пусты (\(N_3 + N_2\)):
\(
N_4 = N_1 — (N_3 + N_2)
\)
Подставляем значения \(N_1\), \(N_3\), \(N_2\):
\(
N_4 = 3^n — (3 \cdot 2^n — 6 + 3)
\)
Упрощаем выражение:
\(
N_4 = 3^n — 3 \cdot 2^n + 3
\)

5) Порядок ящиков не важен:
Если порядок ящиков не важен, то количество способов разложить шары по трём ящикам без пустых ящиков нужно разделить на \(3!\) (число перестановок трёх ящиков):
\(
N_5 = \frac{N_4}{3!}
\)
Подставляем значение \(N_4\):
\(
N_5 = \frac{3^n — 3 \cdot 2^n + 3}{3 \cdot 2}
\)
Упрощаем выражение:
\(
N_5 = \frac{3^{n-1} — 2^n + 1}{2}
\)

6) Два ящика будут пустыми:
Если два ящика пусты, то все \(n\) шаров окажутся в одном ящике. Поскольку ящики одинаковые, это можно сделать только одним способом:
\(
N_6 = 1
\)

7) Один ящик будет пустым:
Если один ящик пуст, то оставшиеся \(n\) шаров распределяются между двумя ящиками, порядок которых не важен. Для этого делим \(2^n\) (все способы распределения шаров между двумя ящиками) на \(2!\):
\(
N_7 = \frac{2^n}{2!}
\)
Упрощаем выражение:
\(
N_7 = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}
\)

8) Могут быть пустые ящики:
Общее количество способов разложить \(n\) шаров по трём одинаковым ящикам с учётом возможности пустых ящиков вычисляется как сумма \(N_5\), \(N_6\), \(N_7\):
\(
N = N_5 + N_6 + N_7
\)
Подставляем значения \(N_5\), \(N_6\), \(N_7\):
\(
N = \frac{3^{n-1} — 2^n + 1}{2} + 1 + 2^{n-1}
\)
Упрощаем выражение:
\(
N = \frac{3^{n-1} + 1}{2}
\)

Ответ:
\(
\frac{3^{n-1} + 1}{2}
\)