ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколькими способами можно разложить n одинаковых шаров по трём различным ящикам (некоторые ящики могут остаться пустыми)?

Способов разложить \(n\) одинаковых шаров по трём различным ящикам:

Выберем два шара из \(n + 2\), тогда \(n\) шаров разделятся на 3 группы:
\(N = C_{n+2}^2\);

Ответ: \(C_{n+2}^2\).

Способов разложить \(n\) одинаковых шаров по трём различным ящикам можно определить следующим образом:

Предположим, что мы хотим разделить \(n\) одинаковых шаров на три группы (ящика). Для этого введём дополнительное условие: добавим два фиктивных шара, которые будут служить границами между группами. Таким образом, у нас будет \(n + 2\) шаров, из которых два фиктивных шара нужно разместить в \(n + 2\) местах.

Каждая расстановка двух фиктивных шаров определяет разделение всех \(n\) шаров на три группы. Например, если фиктивные шары находятся на позициях \(i\) и \(j\) (\(i < j\)), то:

— первая группа состоит из шаров, расположенных до \(i\)-го фиктивного шара,
— вторая группа состоит из шаров между \(i\)-м и \(j\)-м фиктивными шарами,
— третья группа состоит из шаров, расположенных после \(j\)-го фиктивного шара.

Количество способов выбрать два фиктивных шара из \(n + 2\) мест определяется как число сочетаний:

\(
N = C_{n+2}^2 = \frac{(n+2)!}{2!(n)!}
\)

Таким образом, общее количество способов разложить \(n\) одинаковых шаров по трём различным ящикам равно \(C_{n+2}^2\).

Ответ:

\(
C_{n+2}^2
\)