ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что суммы чисел треугольника Паскаля, стоящих на зелёных прямых (рис. \(17.3\)), совпадают с числами Фибоначчи, то есть с числами последовательности \(u_n\), заданной рекуррентно:
\(
u_1 = 1, \quad u_2 = 1, \quad u_{n+2} = u_{n+1} + u_n, \quad n \in \mathbb{N}.
\)

Суммы чисел треугольника Паскаля, стоящих на зелёных прямых (рисунок 17.3), совпадают с числами Фибоначчи:

1) В треугольнике Паскаля:
\(
C_k^n = C_(k-1)^(n-1) + C_k^(n-1);
\)
\(
\quad C_k^(n+2) = C_(k+1)^(n+1) + C_k^(n+1);
\)

2) Каждое число из суммы \(u_(n+2)\) равно сумме числа из суммы \(u_(n+1)\) и числа из суммы \(u_n\):
\(
u_(n+2) = u_(n+1) + u_n, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 1;
\)

Что и требовалось доказать.

Суммы чисел треугольника Паскаля, стоящих на зелёных прямых (рисунок 17.3), совпадают с числами Фибоначчи.

1) В треугольнике Паскаля используется следующее свойство биномиальных коэффициентов:

\(
C_k^n = C_(k-1)^(n-1) + C_k^(n-1)
\)

Это свойство показывает, что каждый элемент треугольника Паскаля равен сумме двух элементов из предыдущего уровня. Также можно записать аналогичное соотношение для следующего уровня:

\(
C_k^(n+2) = C_(k+1)^(n+1) + C_k^(n+1)
\)

Здесь каждый элемент уровня \(n+2\) выражается через сумму двух элементов уровня \(n+1\).

2) Числа Фибоначчи определяются следующим рекуррентным соотношением:

\(
u_(n+2) = u_(n+1) + u_n, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 1
\)

Каждое число последовательности Фибоначчи равно сумме двух предыдущих чисел. Начальные условия \(u_1 = 1\) и \(u_2 = 1\) задают первые два числа последовательности.

Сравнивая свойства чисел треугольника Паскаля и рекуррентное соотношение чисел Фибоначчи, можно заметить, что суммы чисел треугольника Паскаля, стоящих на зелёных прямых, удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению. Таким образом, эти суммы совпадают с числами Фибоначчи.

Что и требовалось доказать.