ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть в треугольнике Паскаля выбрано некоторое число. Докажите, что сумма чисел треугольника Паскаля, расположенных параллельно стороне треугольника от выбранного числа до единицы (например, на рисунке 17.4 выбранным является число 10), равна числу, стоящему справа от данного в следующей строке (на рисунке 17.4 сумма фиолетовых чисел равна зелёному числу).

В треугольнике Паскаля:

\(
C_{n+1}^k = C_n^k + C_n^{k+1} = C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k+1} =
C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-2}^k + C_{n-2}^{k+1} =
\)
\(
= C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-2}^k + C_{n-3}^k + C_{n-3}^{k+1} =
\)
\(
= C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-2}^k + C_{n-3}^k + \dots + C_k^k;
\)

В треугольнике Паскаля можно доказать следующую формулу:

\(
C_{n+1}^k = C_n^k + C_n^{k+1}
\)

Расписываем её по свойству треугольника Паскаля, согласно которому каждый элемент равен сумме двух элементов из предыдущей строки:

\(
C_{n+1}^k = C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k+1}
\)

Далее продолжаем раскладывать элементы, используя то же свойство:

\(
C_{n+1}^k = C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-2}^k + C_{n-2}^{k+1}
\)

Следующий шаг:

\(
C_{n+1}^k = C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-2}^k + C_{n-3}^k + C_{n-3}^{k+1}
\)

И так продолжаем до тех пор, пока не дойдём до самого нижнего элемента:

\(
C_{n+1}^k = C_n^k + C_{n-1}^k + C_{n-2}^k + C_{n-3}^k + \dots + C_k^k
\)

Таким образом, доказательство завершено.