ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Объясните, почему значения выражений \(11^2\) и \(11^3\) похожи на строки треугольника Паскаля. Вычислите \(11^4\).

Значения данных выражений \(11^2\) и \(11^3\) похожи на строки треугольника Паскаля:

\(
11^2 = (10 + 1)^2 = C^2_2 \cdot 10^2 + C^2_1 \cdot 10 + C^2_0 \cdot 1 =
1 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1 \cdot 1 =
\)
\(
= 100 + 20 + 1;
\)

\(
11^3 = (10 + 1)^3 = C^3_0 \cdot 10^3 + C^3_1 \cdot 10^2 + C^3_2 \cdot 10 + C^3_3 \cdot 1 =
\)
\(
=1 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 1000 + 300 + 30 + 1;
\)

\(
11^4 = (10 + 1)^4 = C^4_0 \cdot 10^4 + C^4_1 \cdot 10^3 + C^4_2 \cdot 10^2 + C^4_3 \cdot 10 + C^4_4 \cdot 1 =
\)
\(
=1 \cdot 10\,000 + 4 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 14\,641;
\)

Ответ: \(14\,641\).

Значения данных выражений \(11^2\), \(11^3\) и \(11^4\) можно связать со строками треугольника Паскаля, так как коэффициенты бинома соответствуют элементам треугольника.

Рассмотрим выражение \(11^2\):

\(
11^2 = (10 + 1)^2 = C^2_2 \cdot 10^2 + C^2_1 \cdot 10 + C^2_0 \cdot 1
\)

Здесь \(C^2_2\), \(C^2_1\), \(C^2_0\) — биномиальные коэффициенты для второй строки треугольника Паскаля. Подставляем значения:

\(
C^2_2 = 1, \quad C^2_1 = 2, \quad C^2_0 = 1
\)

Подставляем коэффициенты и вычисляем выражение:

\(
11^2 = 1 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 100 + 20 + 1 = 121
\)

Рассмотрим выражение \(11^3\):

\(
11^3 = (10 + 1)^3 = C^3_0 \cdot 10^3 + C^3_1 \cdot 10^2 + C^3_2 \cdot 10 + C^3_3 \cdot 1
\)

Здесь \(C^3_0\), \(C^3_1\), \(C^3_2\), \(C^3_3\) — биномиальные коэффициенты для третьей строки треугольника Паскаля. Подставляем значения:

\(
C^3_0 = 1, \quad C^3_1 = 3, \quad C^3_2 = 3, \quad C^3_3 = 1
\)

Подставляем коэффициенты и вычисляем выражение:

\(
11^3 = 1 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331
\)

Рассмотрим выражение \(11^4\):

\(
11^4 = (10 + 1)^4 = C^4_0 \cdot 10^4 + C^4_1 \cdot 10^3 + C^4_2 \cdot 10^2 + C^4_3 \cdot 10 + C^4_4 \cdot 1
\)

Здесь \(C^4_0\), \(C^4_1\), \(C^4_2\), \(C^4_3\), \(C^4_4\) — биномиальные коэффициенты для четвёртой строки треугольника Паскаля. Подставляем значения:

\(
C^4_0 = 1, \quad C^4_1 = 4, \quad C^4_2 = 6, \quad C^4_3 = 4, \quad C^4_4 = 1
\)

Подставляем коэффициенты и вычисляем выражение:

\(
11^4 = 1 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 1 \cdot 1 =
\)
\(
= 10000 + 4000 + 600 + 40 + 1 = 14641
\)

Ответ:

\(
14641
\)