ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения:

\(
1001^{1000} — 1
\)

\(
1001^{1000} — 1 = (1000 + 1)^{1000} — 1 =
\)

\(
= 1000^{1000} + C^{1000}_1 \cdot 1000^{999} + \ldots + C^{999}_{1000} \cdot 1000 =
\)

\(
= 1000^{1000} + C^{1000}_1 \cdot 1000^{999} + \ldots + 1000 \cdot 1000 =
\)

\(
= 1000^{1000} + C^{1000}_1 \cdot 1000^{999} + \ldots + 1,000,000;
\)

\(
\text{Ответ: } 6.
\)

Найти количество нулей в конце десятичной записи числа:

\(
1001^{1000} — 1 = (1000 + 1)^{1000} — 1
\)

Раскрываем выражение по формуле бинома Ньютона:

\(
(1000 + 1)^{1000} = 1000^{1000} + C^{1000}_1 \cdot 1000^{999} \cdot 1 + C^{1000}_2 \cdot 1000^{998} \cdot 1^2 + \ldots +
\)
\(
+ C^{1000}_{999} \cdot 1000 \cdot 1^{999} + 1^{1000}
\)

Вычитаем единицу:

\(
1001^{1000} — 1 = 1000^{1000} + C^{1000}_1 \cdot 1000^{999} + \ldots + C^{1000}_{999} \cdot 1000 + 1 — 1
\)

Остается:

\(
1001^{1000} — 1 = 1000^{1000} + C^{1000}_1 \cdot 1000^{999} + \ldots + 1,000,000
\)

Так как каждый член суммы, кроме последнего, содержит множитель \(1000\), то все они имеют не менее 3 нулей. Последний член — \(1,000,000\) — добавляет еще 3 нуля.

Итого, количество нулей в конце десятичной записи числа равно:

\(
\text{Ответ: } 6
\)