ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения:

\(
999^{1001} + 1
\)

Найти количество нулей в конце десятичной записи данного числа:

\(
999^{1001} + 1 = 999 \cdot (1000 — 1)^{1000} + 1 =
\)

\(
= 999(1000^{1000} — C_{1000} \cdot 1000^{999} + \ldots — C_{999} \cdot 1000 + 1) + 1 =
\)

\(
= 999(1000^{1000} — C_{1000} \cdot 1000^{999} + \ldots — C_{999} \cdot 1000) + 999 + 1 =
\)

\(
= 999(1000^{1000} — C_{1000} \cdot 1000^{999} + \ldots — 1000 \cdot 1000) + 1000;
\)

Ответ: 3.

Найдем количество нулей в конце десятичной записи числа:

\(
999^{1001} + 1
\)

Рассмотрим выражение подробнее. Представим \(999^{1001}\) как произведение:

\(
999^{1001} = 999 \cdot (999^{1000})
\)

Преобразуем основание \(999\) как \(1000 — 1\):

\(
999^{1001} = 999 \cdot (1000 — 1)^{1000}
\)

Теперь раскроем скобки с помощью бинома Ньютона:

\(
(1000 — 1)^{1000} = 1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} \cdot 1 + C_{1000}^{2} \cdot 1000^{998} \cdot 1^2 — \ldots +
\)
\(
+ (-1)^{1000} \cdot 1^{1000}
\)

Заменим это выражение в исходной формуле:

\(
999^{1001} + 1 = 999 \cdot (1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \ldots — C_{999}^{1} \cdot 1000 + 1) + 1
\)

Теперь раскроем произведение \(999 \cdot (1000^{1000} — C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \ldots)\):

\(
= 999 \cdot 1000^{1000} — 999 \cdot C_{1000}^{1} \cdot 1000^{999} + \ldots — 999 \cdot C_{999}^{1} \cdot 1000 + 999 + 1
\)

Заметим, что все слагаемые \(999 \cdot C_{k} \cdot 1000^{n}\), где \(n \geq 3\), заканчиваются на большое количество нулей (минимум 3 нуля). Оставшиеся слагаемые:

\(
999 \cdot 1000 + 999 + 1
\)

Посчитаем их сумму:

\(
999 \cdot 1000 = 999000, \quad 999 + 1 = 1000
\)

Итоговая сумма:

\(
999000 + 1000 = 1000000
\)

Число \(1000000\) заканчивается на три нуля. Таким образом, количество нулей в конце десятичной записи равно:

\(
Ответ: 3
\)