ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить суммы:

\(
A = C_{101}^{1} + C_{101}^{3} + C_{101}^{5} + \dots + C_{101}^{101},
\)
\(
B = C_{101}^{0} + C_{101}^{2} + C_{101}^{4} + \dots + C_{101}^{100}.
\)

Вычислить суммы:

\(
A = C_{101}^{1} + C_{101}^{3} + C_{101}^{5} + \dots + C_{101}^{101};
\)
\(
B = C_{101}^{0} + C_{101}^{2} + C_{101}^{4} + \dots + C_{101}^{100};
\)

\(
A + B = (1 + 1)^{101} = 2^{101};
\)
\(
A — B = (1 — 1)^{101} = 0;
\)

\(
A = B = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100};
\)

Ответ: \(2^{100}\).

Требуется вычислить суммы:

\(
A = C_{101}^{1} + C_{101}^{3} + C_{101}^{5} + \dots + C_{101}^{101},
\)
\(
B = C_{101}^{0} + C_{101}^{2} + C_{101}^{4} + \dots + C_{101}^{100}.
\)

Для нахождения суммы \(A + B\) воспользуемся свойством бинома Ньютона:

\(
A + B = \sum_{k=0}^{101} C_{101}^{k} = (1 + 1)^{101}.
\)

Подставляя значение, получаем:

\(
A + B = 2^{101}.
\)

Для нахождения разности \(A — B\) воспользуемся тем же свойством бинома Ньютона, но с учетом чередующихся знаков:

\(
A — B = \sum_{k=0}^{101} C_{101}^{k} \cdot (-1)^{k} = (1 — 1)^{101}.
\)

Так как \(1 — 1 = 0\), то:

\(
A — B = 0.
\)

Теперь, зная \(A + B\) и \(A — B\), можно найти значения \(A\) и \(B\) по следующим формулам:

\(
A = \frac{(A + B) + (A — B)}{2},
\)
\(
B = \frac{(A + B) — (A — B)}{2}.
\)

Подставляя значения \(A + B = 2^{101}\) и \(A — B = 0\), получаем:

\(
A = B = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100}.
\)

Таким образом, значения сумм равны:

\(
A = 2^{100}, \quad B = 2^{100}.
\)

Ответ:

\(
2^{100}.
\)