ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В выражении \((1 + \sqrt{2})^{200}\) раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Укажите наибольшее из слагаемых полученной суммы.

Дано выражение: \((1 + \sqrt{2})^{200}\);

1) Член разложения \(n + 1\):
\(
C_{200}^{n} \cdot (\sqrt{2})^n \cdot 1^{200-n} = C_{200}^{n} \cdot (\sqrt{2})^n;
\)

2) Отношение соседних членов:
\(
f(n) = \frac{C_{200}^{n} \cdot (\sqrt{2})^n}{C_{200}^{n-1} \cdot (\sqrt{2})^{n-1}} = \sqrt{2} \cdot \frac{200!}{n! \cdot (200-n)!} \cdot \frac{(n-1)! \cdot (200-n+1)!}{200!};
\)
\(
f(n) = \sqrt{2} \cdot \frac{(n-1)! \cdot (201-n) \cdot (200-n)!}{n \cdot (n-1)! \cdot (200-n)!} = \frac{\sqrt{2} \cdot (201-n)}{n};
\)

3) Значение возрастает:
\(
\frac{\sqrt{2} \cdot (201-n)}{n} > 1;
\)
\(
\sqrt{2} \cdot (201-n) > n;
\)
\(
201\sqrt{2} — n\sqrt{2} > n;
\)
\(
n(1 + \sqrt{2}) < 201\sqrt{2};
\)
\(
n < \frac{201\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \approx 117,74;
\)

Ответ: \(C_{200}^{117} \cdot (\sqrt{2})^{117}\).

Дано выражение:
\(
(1 + \sqrt{2})^{200}
\)

1) Член разложения \(n + 1\):
Каждое слагаемое в разложении выражения по формуле бинома Ньютона имеет вид:
\(
C_{200}^{n} \cdot (\sqrt{2})^n \cdot 1^{200-n}
\)
Так как \(1^{200-n} = 1\), то член разложения можно записать в упрощённом виде:
\(
C_{200}^{n} \cdot (\sqrt{2})^n
\)

2) Отношение соседних членов:
Рассмотрим отношение соседних членов разложения:
\(
f(n) = \frac{C_{200}^{n} \cdot (\sqrt{2})^n}{C_{200}^{n-1} \cdot (\sqrt{2})^{n-1}}
\)
Сократим степень корня:
\(
f(n) = \sqrt{2} \cdot \frac{C_{200}^{n}}{C_{200}^{n-1}}
\)
Используем формулу для биномиальных коэффициентов:
\(
C_{200}^{n} = \frac{200!}{n! \cdot (200-n)!}, \quad C_{200}^{n-1} = \frac{200!}{(n-1)! \cdot (200-n+1)!}
\)
Подставляя выражения для \(C_{200}^{n}\) и \(C_{200}^{n-1}\), получаем:
\(
f(n) = \sqrt{2} \cdot \frac{\frac{200!}{n! \cdot (200-n)!}}{\frac{200!}{(n-1)! \cdot (200-n+1)!}}
\)
Сократим \(200!\):
\(
f(n) = \sqrt{2} \cdot \frac{(n-1)! \cdot (200-n+1)!}{n! \cdot (200-n)!}
\)
Разложим \(n!\) как \(n \cdot (n-1)!\):
\(
f(n) = \sqrt{2} \cdot \frac{(n-1)! \cdot (200-n+1)!}{n \cdot (n-1)! \cdot (200-n)!}
\)
Сократим \( (n-1)! \):
\(
f(n) = \sqrt{2} \cdot \frac{(200-n+1)}{n}
\)
Таким образом, отношение соседних членов равно:
\(
f(n) = \frac{\sqrt{2} \cdot (201-n)}{n}
\)

3) Условие возрастания:
Для того чтобы последовательность членов разложения возрастала, необходимо выполнение условия:
\(
f(n) > 1
\)
Подставим выражение для \(f(n)\):
\(
\frac{\sqrt{2} \cdot (201-n)}{n} > 1
\)
Умножим обе части на \(n\) (при \(n > 0\)):
\(
\sqrt{2} \cdot (201-n) > n
\)
Раскроем скобки:
\(
201\sqrt{2} — n\sqrt{2} > n
\)
Перенесём \(n\) и \(n\sqrt{2}\) в одну часть неравенства:
\(
201\sqrt{2} > n + n\sqrt{2}
\)
Вынесем \(n\) за скобки:
\(
201\sqrt{2} > n(1 + \sqrt{2})
\)
Разделим обе части на \(1 + \sqrt{2}\):
\(
n < \frac{201\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}
\)
Вычислим значение дроби:
\(
\frac{201\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \approx 117.74
\)
Таким образом, наибольший член разложения соответствует \(n = 117\).

Ответ:
\(
C_{200}^{117} \cdot (\sqrt{2})^{117}
\)