ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В выражении \((a + b)^{50}\) раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона при \(a = 2\), \(b = -\sqrt{3}\). Укажите наименьшее из слагаемых полученной суммы.

Дано выражение: \( (2 — \sqrt{3})^{50} \)

1) Член разложения \( n + 1 \):
\( C_{50}^n \cdot 2^{50-n} \cdot (-\sqrt{3})^n \)

2) Отношение соседних членов:
\( f(n) = \frac{C_{50}^n \cdot 2^{50-n} \cdot (-\sqrt{3})^n}{C_{50}^{n-2} \cdot 2^{50-n+2} \cdot (-\sqrt{3})^{n-2}} \)
\( f(n) = \frac{\frac{50!}{n! \cdot (50-n)!} \cdot 2^{50-n} \cdot (-\sqrt{3})^n}{\frac{50!}{(n-2)! \cdot (50-n+2)!} \cdot 2^{50-n+2} \cdot (-\sqrt{3})^{n-2}} \)
\( f(n) = \frac{3}{4} \cdot \frac{(n-2)! \cdot (52-n)(51-n)(50-n)!}{n! \cdot (50-n)!} \)
\( f(n) = \frac{3}{4} \cdot \frac{(52-n)(51-n)}{n(n-1)} \)

3) Значение убывает:
\( \frac{3}{4} \cdot \frac{(52-n)(51-n)}{n(n-1)} > 1 \)
\( 3(n^2 — 103n + 2652) > 4(n^2 — n) \)
\( 3n^2 — 309n + 7956 > 4n^2 — 4n \)
\( n^2 + 305n — 7956 < 0 \)
\( D = 305^2 + 4 \cdot 7956 = 124849 \)
\( n < \frac{-305 + \sqrt{124849}}{2} \approx 24,17 \)

Ответ:
\( -C_{50}^{23} \cdot 2^{27} \cdot (\sqrt{3})^{23} \)

Дано выражение: \( (2 — \sqrt{3})^{50} \).

1) Член разложения \( n + 1 \):
Каждый член разложения выражения \( (2 — \sqrt{3})^{50} \) по биному Ньютона имеет вид:
\(
C_{50}^n \cdot 2^{50-n} \cdot (-\sqrt{3})^n
\)
где \( C_{50}^n = \frac{50!}{n! \cdot (50-n)!} \) — биномиальный коэффициент.

2) Отношение соседних членов:
Для нахождения отношения соседних членов воспользуемся выражением:
\(
f(n) = \frac{a_n}{a_{n-2}}
\)
где \( a_n = C_{50}^n \cdot 2^{50-n} \cdot (-\sqrt{3})^n \) и \( a_{n-2} = C_{50}^{n-2} \cdot 2^{50-n+2} \cdot (-\sqrt{3})^{n-2} \).

Подставим значения:
\(
f(n) = \frac{C_{50}^n \cdot 2^{50-n} \cdot (-\sqrt{3})^n}{C_{50}^{n-2} \cdot 2^{50-n+2} \cdot (-\sqrt{3})^{n-2}}
\)

Разделим биномиальные коэффициенты:
\(
f(n) = \frac{\frac{50!}{n! \cdot (50-n)!} \cdot 2^{50-n} \cdot (-\sqrt{3})^n}{\frac{50!}{(n-2)! \cdot (50-n+2)!} \cdot 2^{50-n+2} \cdot (-\sqrt{3})^{n-2}}
\)

Упростим выражение:
\(
f(n) = \frac{3}{4} \cdot \frac{(n-2)! \cdot (52-n)(51-n)(50-n)!}{n! \cdot (50-n)!}
\)

Сократим факториалы:
\(
f(n) = \frac{3}{4} \cdot \frac{(52-n)(51-n)}{n(n-1)}
\)

3) Условие убывания значения:
Значение убывает при выполнении условия:
\(
\frac{3}{4} \cdot \frac{(52-n)(51-n)}{n(n-1)} > 1
\)

Упростим неравенство:
\(
3(n^2 — 103n + 2652) > 4(n^2 — n)
\)

Раскроем скобки:
\(
3n^2 — 309n + 7956 > 4n^2 — 4n
\)

Перенесем все в одну сторону:
\(
n^2 + 305n — 7956 < 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = 305^2 + 4 \cdot 7956 = 124849
\)
\(
n < \frac{-305 + \sqrt{124849}}{2} \approx 24,17
\)

Таким образом, \( n \) должно быть меньше 24,17. Наибольшее целое значение \( n = 23 \).

Ответ:
Подставляем \( n = 23 \) в формулу для члена разложения:
\(
a_{23} = -C_{50}^{23} \cdot 2^{27} \cdot (\sqrt{3})^{23}
\)