ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить сумму:
\(
1 \cdot C(n, 1) + 2 \cdot C(n, 2) + 3 \cdot C(n, 3) + \dots + n \cdot C(n, n),
\)
где \( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.

Сумма \(
1C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n
\) вычисляется через производную бинома Ньютона.

Рассмотрим:
\((1 + x)^n = \sum_{k=0}^n C_k x^k\).

Найдем производную и подставим \(x = 1\):
\(
\frac{d}{dx} \left( (1 + x)^n \right) = n(1 + x)^{n-1}.
\)

При \(x = 1\):
\(
C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n = n \cdot 2^{n-1}.
\)

Ответ:
\(
1C_1 + 2C_2 + \dots + nC_n = n \cdot 2^{n-1}.
\)

Вычислить сумму:
\(
1C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n
\)

1) Для вычисления суммы воспользуемся производной бинома Ньютона.
Рассмотрим разложение:
\(
(1 + x)^n = 1 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + \dots + C_nx^n
\)
Найдем производную от обеих частей:
\(
\frac{d}{dx} \left( (1 + x)^n \right) = \frac{d}{dx} \left( 1 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + \dots + C_nx^n \right)
\)
Правая часть производной будет равна:
\(
\frac{d}{dx} \left( 1 \right) + \frac{d}{dx} \left( C_1x \right) + \frac{d}{dx} \left( C_2x^2 \right) + \frac{d}{dx} \left( C_3x^3 \right) + \dots + \frac{d}{dx} \left( C_nx^n \right)
\)
В результате получаем:
\(
0 + C_1 + 2C_2x + 3C_3x^2 + \dots + nC_nx^{n-1}
\)
Таким образом:
\(
\frac{d}{dx} \left( (1 + x)^n \right) = C_1 + 2C_2x + 3C_3x^2 + \dots + nC_nx^{n-1}
\)
С другой стороны, производная бинома Ньютона вычисляется как:
\(
\frac{d}{dx} \left( (1 + x)^n \right) = n(1 + x)^{n-1}
\)

2) Теперь подставим \(x = 1\).
В левой части равенства:
\(
\frac{d}{dx} \left( (1 + x)^n \right) = C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n
\)
В правой части равенства:
\(
\frac{d}{dx} \left( (1 + x)^n \right) = n(1 + 1)^{n-1}
\)
Упрощаем правую часть:
\(
n(1 + 1)^{n-1} = n \cdot 2^{n-1}
\)

Таким образом, сумма:
\(
1C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n = n \cdot 2^{n-1}
\)