ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите первые \(1000\) цифр после запятой в десятичной записи числа \((\sqrt{50} + 7)^{1000}\).

Найти первые 1000 цифр после запятой:
\(
(\sqrt{50} + 7)^{1000};
\)

1) Сумма есть целое число:
\(
(\sqrt{50} + 7)^{1000} + (\sqrt{50} — 7)^{1000} =
\)
\(
= 2 \left( (\sqrt{50})^{1000} + C_{1000} (\sqrt{50})^{998} \cdot 7^2 + \dots + 7^{1000} \right).
\)

2) Данное число меньше целого на:
\(
\frac{1}{(\sqrt{50} + 7)^{1000}} < \frac{1}{10^{1000}} = 10^{-1000}.
\)

Ответ: все цифры являются девятками.

Найти первые 1000 цифр после запятой:
\((\sqrt{50} + 7)^{1000}\).

1) Сумма \((\sqrt{50} + 7)^{1000} + (\sqrt{50} — 7)^{1000}\) является целым числом, так как:
\(
(\sqrt{50} + 7)^{1000} + (\sqrt{50} — 7)^{1000} =
\)
\(
= 2 \cdot \left( (\sqrt{50})^{1000} + C_{1000} (\sqrt{50})^{998} \cdot 7^2 + \dots + 7^{1000} \right),
\)
где \(C_{1000}\) обозначает биномиальный коэффициент.

2) Число \((\sqrt{50} + 7)^{1000}\) меньше целого числа на величину:
\(
\frac{1}{(\sqrt{50} + 7)^{1000}}.
\)
Оценим эту величину:
\(
\frac{1}{(\sqrt{50} + 7)^{1000}} < \frac{1}{10^{1000}} = 10^{-1000}.
\)
Таким образом, разница между \((\sqrt{50} + 7)^{1000}\) и ближайшим целым числом меньше \(10^{-1000}\).

Поскольку разница меньше \(10^{-1000}\), первые 1000 цифр после запятой числа \((\sqrt{50} + 7)^{1000}\) являются девятками.

Ответ: все цифры являются девятками.