ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Запишите формулу бинома Ньютона для \((a + b)^6\)

\(
(a + b)^6 = a^6 + C_1^6 a^5b + C_2^6 a^4b^2 + C_3^6 a^3b^3 + C_4^6 a^2b^4 + C_5^6 ab^5 + b^6;
\)

\(
(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6;
\)

Формула бинома Ньютона для \( (a + b)^6 \):

Формула бинома Ньютона позволяет разложить степень суммы двух выражений \( (a + b)^n \) в виде суммы членов, каждый из которых содержит степень \( a \) и степень \( b \), умноженных на биномиальный коэффициент.

Общий вид формулы бинома Ньютона:
\(
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_k^n a^{n-k}b^k,
\)
где \( C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.

В случае \( n = 6 \), формула принимает следующий вид:
\(
(a + b)^6 = C_0^6 a^6b^0 + C_1^6 a^5b^1 + C_2^6 a^4b^2 + C_3^6 a^3b^3 + C_4^6 a^2b^4 + C_5^6 a^1b^5 +
\)
\(
+ C_6^6 a^0b^6.
\)

Вычислим биномиальные коэффициенты:
\(
C_0^6 = 1, \quad C_1^6 = 6, \quad C_2^6 = 15, \quad C_3^6 = 20, \quad C_4^6 = 15, \quad C_5^6 = 6, \quad C_6^6 = 1.
\)

Подставляя значения коэффициентов, получаем:
\(
(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6.
\)

Таким образом, разложение степени суммы \( (a + b)^6 \) по формуле бинома Ньютона завершено.