ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) \((a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4;\)

2) \(( * + * )^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *.\)

1) \((a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4;\)
\((a + 2b)^4 = a^4 + C_1^4 a^3 \cdot 2b + C_2^4 a^2 \cdot 4b^2 + C_3^4 a \cdot 8b^3 + 16b^4;\)
\((a + 2b)^4 = a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4;\)

2) \((x^2 + 2)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *;\)
\((x^2 + 2)^5 = x^{10} + C_1^5 x^8 \cdot 2 + C_2^5 x^6 \cdot 4 + C_3^5 x^4 \cdot 8 + C_4^5 x^2 \cdot 16 + 32;\)
\((x^2 + 2)^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32;\)

Записать тождество:

1) Для выражения \( (a + *)^4 \):
\( (a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4. \)

Для выражения \( (a + 2b)^4 \):
\( (a + 2b)^4 = a^4 + C_1^4 a^3 \cdot 2b + C_2^4 a^2 \cdot 4b^2 + C_3^4 a \cdot 8b^3 + 16b^4. \)

Здесь биномиальные коэффициенты \( C_k^n \) вычисляются по формуле:
\(
C_k^n = \frac{n!}{k! (n — k)!}.
\)

Для \( n = 4 \) значения коэффициентов:
\(
C_0^4 = 1, \quad C_1^4 = 4, \quad C_2^4 = 6, \quad C_3^4 = 4, \quad C_4^4 = 1.
\)

Подставляя значения коэффициентов, получаем:
\( (a + 2b)^4 = a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4. \)

2) Для выражения \( (x^2 + 2)^5 \):
\( (x^2 + 2)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *. \)

Для \( (x^2 + 2)^5 \):
\( (x^2 + 2)^5 = x^{10} + C_1^5 x^8 \cdot 2 + C_2^5 x^6 \cdot 4 + C_3^5 x^4 \cdot 8 + C_4^5 x^2 \cdot 16 + 32. \)

Биномиальные коэффициенты для \( n = 5 \):
\(
C_0^5 = 1, \quad C_1^5 = 5, \quad C_2^5 = 10, \quad C_3^5 = 10, \quad C_4^5 = 5, \quad C_5^5 = 1.
\)

Подставляя значения коэффициентов:
\( (x^2 + 2)^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32. \)