ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 17.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
\(
(-2n)^4 = m^4 — * + * — * + *
\)

2)
\(
(* + *)^5 = y^{15} + * + * + * + * + 32z^5.
\)

1) \(( * — 2n)^4 = m^4 — * + * — * + *\)

\((m — 2n)^4 = m^4 — C_1^4 m^3 \cdot 2n + C_2^4 m^2 \cdot 4n^2 — C_3^4 m \cdot 8n^3 + 16n^4\)

\((m — 2n)^4 = m^4 — 8m^3n + 24m^2n^2 — 32mn^3 + 16n^4\)

2) \(( * + *)^5 = y^{15} + * + * + * + * + 32z^5\)

\((y^3 + 2z)^5 = y^{15} + C_1^5 y^{12} \cdot 2z + C_2^5 y^9 \cdot 4z^2 + C_3^5 y^6 \cdot 8z^3 + C_4^5 y^3 \cdot 16z^4 +\)
\(+ 32z^5\)

\((y^3 + 2z)^5 = y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5\)

Записать тождество:

1) \( ( * — 2n)^4 = m^4 — * + * — * + * \)

Разложим выражение \( (m — 2n)^4 \) по формуле бинома Ньютона:

\((m — 2n)^4 = m^4 — C_1^4 m^3 \cdot 2n + C_2^4 m^2 \cdot (2n)^2 — C_3^4 m \cdot (2n)^3 + (2n)^4\)

Где биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

\(C_k^n = \frac{n!}{k! (n — k)!}\)

Для \(n = 4\):
\(C_0^4 = 1, \quad C_1^4 = 4, \quad C_2^4 = 6, \quad C_3^4 = 4, \quad C_4^4 = 1\)

Подставим значения коэффициентов и упростим:
\((m — 2n)^4 = m^4 — 4m^3 \cdot 2n + 6m^2 \cdot (2n)^2 — 4m \cdot (2n)^3 + (2n)^4\)

\((m — 2n)^4 = m^4 — 8m^3n + 24m^2n^2 — 32mn^3 + 16n^4\)

2) \( ( * + *)^5 = y^{15} + * + * + * + * + 32z^5 \)

Разложим выражение \( (y^3 + 2z)^5 \) по формуле бинома Ньютона:

\((y^3 + 2z)^5 = y^{15} + C_1^5 y^{12} \cdot 2z + C_2^5 y^9 \cdot (2z)^2 + C_3^5 y^6 \cdot (2z)^3 + C_4^5 y^3 \)
\(\cdot (2z)^4 + (2z)^5\)

Для \(n = 5\):
\(C_0^5 = 1, \quad C_1^5 = 5, \quad C_2^5 = 10, \quad C_3^5 = 10, \quad C_4^5 = 5, \quad C_5^5 = 1\)

Подставим значения коэффициентов и упростим:
\((y^3 + 2z)^5 = y^{15} + 5y^{12} \cdot 2z + 10y^9 \cdot (2z)^2 + 10y^6 \cdot (2z)^3 + 5y^3 \cdot (2z)^4 + \)
\(+ (2z)^5\)

\((y^3 + 2z)^5 = y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5\)