ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 18.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть \(A\) и \(B\) — события некоторого испытания. Известно, что \(P(A) > 0{,}8\) и \(P(B) > 0{,}8\). Необходимо доказать, что \(P(A \cap B) > 0{,}6\).

Известно, что: \(P(A) \geq 0,8\) и \(P(B) \geq 0,8\);

Вероятность суммы событий \(A\) и \(B\):
\(
P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B);
\)
\(
P(A \cap B) = P(A) + P(B) — P(A \cup B);
\)
\(
P(A \cap B) = 0,8 + 0,8 — P(A \cup B);
\)
\(
P(A \cup B) \leq 1, \quad P(A \cap B) \geq 0,6;
\)

Что и требовалось доказать.

Известно, что: \(P(A) \geq 0,8\) и \(P(B) \geq 0,8\).

Рассмотрим вероятность суммы событий \(A\) и \(B\), которая выражается через формулу:
\(
P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B).
\)
Эта формула является основным свойством вероятности объединения двух событий. Она учитывает, что при сложении вероятностей \(P(A)\) и \(P(B)\) вероятность пересечения \(P(A \cap B)\) вычитается, чтобы избежать двойного учета случаев, когда оба события происходят одновременно.

Теперь преобразуем данное выражение, чтобы выразить вероятность пересечения событий \(A\) и \(B\):
\(
P(A \cap B) = P(A) + P(B) — P(A \cup B).
\)
Здесь мы просто перенесли \(P(A \cup B)\) в правую часть уравнения, чтобы получить вероятность пересечения событий.

Подставим в это выражение известные значения вероятностей \(P(A) \geq 0,8\) и \(P(B) \geq 0,8\):
\(
P(A \cap B) = 0,8 + 0,8 — P(A \cup B).
\)

Далее учтем, что вероятность объединения событий \(A\) и \(B\) не может превышать \(1\), так как вероятность любого события лежит в пределах от \(0\) до \(1\):
\(
P(A \cup B) \leq 1.
\)
Подставим это ограничение в выражение для \(P(A \cap B)\):
\(
P(A \cap B) \geq 0,8 + 0,8 — 1.
\)

Выполним арифметические вычисления:
\(
P(A \cap B) \geq 1,6 — 1.
\)
\(
P(A \cap B) \geq 0,6.
\)

Таким образом, мы получили, что вероятность пересечения событий \(A\) и \(B\) удовлетворяет следующему условию:
\(
P(A \cap B) \geq 0,6.
\)

Это означает, что при заданных ограничениях на вероятности событий \(A\) и \(B\), минимальная вероятность того, что оба события произойдут одновременно, составляет \(0,6\).

Что и требовалось доказать.