ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 18.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Игральный кубик подбросили дважды. Событие \(A\) состоит в том, что сумма очков, выпавших на кубике, чётная; событие \(B\) — в том, что по крайней мере один раз выпала единица. Найдите вероятность события:
1) \(A\);
2) \(A \cap B\);
3) \(A \cup B\);
4) \(A \setminus B\).

Игральный кубик подбросили дважды:
A — сумма очков, выпавших на кубике, чётная;
B — по крайней мере один раз выпала единица;

\(
P(A) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2};
\)

\(
P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{36} = \frac{11}{36}.
\)

1) \(
P(A) = 1 — P(A) = \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

2) \(
P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36};
\)
Ответ: \(\frac{5}{36}\).

3) \(
P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B);
\)
\(
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{11}{36} — \frac{5}{36} = \frac{1}{2} + \frac{6}{36} = \frac{2}{3};
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

4) \(
P(A) = P(A \cap B) + P(A \setminus B);
\)
\(
P(A \setminus B) = P(A) — P(A \cap B);
\)
\(
P(A \setminus B) = \frac{1}{2} — \frac{5}{36} = \frac{18}{36} — \frac{5}{36} = \frac{13}{36};
\)
Ответ: \(\frac{13}{36}\).

Игральный кубик подбросили дважды:
A — сумма очков, выпавших на кубике, чётная;
B — по крайней мере один раз выпала единица.

Рассчитаем вероятности.

1. Вероятность события \( A \), когда сумма очков чётная:

\(
P(A) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}
\)

Первый множитель \( \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} \) соответствует случаям, когда оба значения на кубиках чётные.
Второй и третий множители \( \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{6} \) и \( \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} \) описывают случаи, когда один кубик чётный, а другой нечётный.
Последний множитель \( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \) — оба значения нечётные.

Считаем:

\(
P(A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\)

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

2. Вероятность события \( B \), когда хотя бы один раз выпала единица:

\(
P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}
\)

Первый и второй множители \( \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \) и \( \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \) описывают случаи, когда единица выпала один раз.
Третий множитель \( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \) — единица выпала дважды.

Считаем:

\(
P(B) = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{36} = \frac{11}{36}
\)

Ответ: \( \frac{11}{36} \).

3. Вероятность события \( A \cap B \), когда сумма чётная и хотя бы один раз выпала единица:

\(
P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}
\)

Первый и второй множители \( \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} \) и \( \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} \) описывают случаи, когда единица выпала один раз, а сумма чётная.
Третий множитель \( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \) — единица выпала дважды, и сумма также чётная.

Считаем:

\(
P(A \cap B) = \frac{2}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36}
\)

Ответ: \( \frac{5}{36} \).

4. Вероятность события \( A \cup B \), когда сумма чётная или хотя бы один раз выпала единица:

\(
P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)
\)

Подставляем значения:

\(
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{11}{36} — \frac{5}{36}
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{11}{36} — \frac{5}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}
\)

Ответ: \( \frac{2}{3} \).

5. Вероятность события \( A \setminus B \), когда сумма чётная, но единица не выпала:

\(
P(A) = P(A \cap B) + P(A \setminus B)
\)

Следовательно:

\(
P(A \setminus B) = P(A) — P(A \cap B)
\)

Подставляем значения:

\(
P(A \setminus B) = \frac{1}{2} — \frac{5}{36}
\)

Приводим к общему знаменателю:

\(
P(A \setminus B) = \frac{18}{36} — \frac{5}{36} = \frac{13}{36}
\)

Ответ: \( \frac{13}{36} \).