ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 18.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Рассматривается правильная треугольная пирамида, грани которой окрашены в жёлтый, зелёный, красный и синий цвета. Пирамиду подбросили дважды.

— Событие \( A \): оба раза пирамида упала на одну и ту же грань.
— Событие \( B \): в первый раз пирамида упала на жёлтую или зелёную грань.

Требуется найти вероятность событий:

1. \( P(A) \)
2. \( P(A \cap B) \)
3. \( P(A \cup B) \)
4. \( P(B \setminus A) \).

Треугольную пирамиду подбросили дважды:
\( A \) — оба раза пирамида упала на одну и ту же грань;
\( B \) — в первый раз выпала жёлтая или зелёная грань;

\( P(A) = \frac{1}{4}, \quad P(B) = \frac{1}{2}; \)

1)
\( P(\overline{A}) = 1 — P(A) = \frac{3}{4}; \)
Ответ: \( \frac{3}{4} \)

2)
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}; \)
Ответ: \( \frac{1}{8} \)

3)
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B); \)
\( P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} — \frac{1}{8} = \frac{6}{8} — \frac{1}{8} = \frac{5}{8}; \)
Ответ: \( \frac{5}{8} \)

4)
\( P(B) = P(A \cap B) + P(B \setminus A); \)
\( P(B \setminus A) = P(B) — P(A \cap B); \)
\( P(B \setminus A) = \frac{1}{2} — \frac{1}{8} = \frac{4}{8} — \frac{1}{8} = \frac{3}{8}; \)
Ответ: \( \frac{3}{8} \)

Треугольную пирамиду подбросили дважды:
\( A \) — оба раза пирамида упала на одну и ту же грань;
\( B \) — в первый раз выпала жёлтая или зелёная грань.

Даны вероятности:
\( P(A) = \frac{1}{4}, \quad P(B) = \frac{1}{2}. \)

1) Найти вероятность события \( \overline{A} \), то есть противоположного события \( A \):
\( P(\overline{A}) = 1 — P(A). \)
Подставляем значение \( P(A) = \frac{1}{4} \):
\( P(\overline{A}) = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \)
Ответ:
\( \frac{3}{4}. \)

2) Найти вероятность совместного наступления событий \( A \) и \( B \), то есть \( P(A \cap B) \):
Так как события \( A \) и \( B \) независимы, их вероятность совместного наступления равна произведению вероятностей:
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B). \)
Подставляем значения \( P(A) = \frac{1}{4} \) и \( P(B) = \frac{1}{2} \):
\( P(A \cap B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}. \)
Ответ:
\( \frac{1}{8}. \)

3) Найти вероятность наступления хотя бы одного из событий \( A \) или \( B \), то есть \( P(A \cup B) \):
Используем формулу:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B). \)
Подставляем значения \( P(A) = \frac{1}{4}, \, P(B) = \frac{1}{2}, \, P(A \cap B) = \frac{1}{8} \):
\( P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} — \frac{1}{8}. \)
Приводим дроби к общему знаменателю:
\( P(A \cup B) = \frac{2}{8} + \frac{4}{8} — \frac{1}{8} = \frac{6}{8} — \frac{1}{8} = \frac{5}{8}. \)
Ответ:
\( \frac{5}{8}. \)

4) Найти вероятность наступления события \( B \), но без наступления события \( A \), то есть \( P(B \setminus A) \):
Используем формулу:
\( P(B) = P(A \cap B) + P(B \setminus A). \)
Выразим \( P(B \setminus A) \):
\( P(B \setminus A) = P(B) — P(A \cap B). \)
Подставляем значения \( P(B) = \frac{1}{2}, \, P(A \cap B) = \frac{1}{8} \):
\( P(B \setminus A) = \frac{1}{2} — \frac{1}{8}. \)
Приводим дроби к общему знаменателю:
\( P(B \setminus A) = \frac{4}{8} — \frac{1}{8} = \frac{3}{8}. \)
Ответ:
\( \frac{3}{8}. \)