ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 18.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Петя и Андрей пришли на озеро ловить рыбу.

Вероятности:
— Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом у Пети:
\(
P(A) = \frac{3}{5}
\)
— Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом у Андрея:
\(
P(B) = \frac{1}{2}
\)
— Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом хотя бы у одного из мальчиков:
\(
P(A \cup B) = \frac{7}{10}
\)

Требуется найти:
1) Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом и у Пети, и у Андрея:
\(
P(A \cap B)
\)
2) Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом только у Пети:
\(
P(A \cap \overline{B})
\)
3) Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом только у Андрея:
\(
P(B \cap \overline{A})
\)
4) Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом только у одного из мальчиков:
\(
P((A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A}))
\)

Вероятность, что первая рыба будет карпом:
\(P(A) = \frac{3}{5} = 60\%\) — у Пети;
\(P(B) = \frac{1}{2} = 50\%\) — у Андрея;
\(P(A \cup B) = \frac{7}{10} = 70\%\) — у одного из мальчиков.

1) Вероятность этого и у Пети, и у Андрея:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B);\)
\(70\% = 60\% + 50\% — P(A \cap B);\)
\(P(A \cap B) = 40\%;\)
Ответ: 40%.

2) Вероятность этого только у Пети:
\(P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B);\)
\(60\% = P(A \setminus B) + 40\%;\)
\(P(A \setminus B) = 20\%;\)
Ответ: 20%.

3) Вероятность этого только у Андрея:
\(P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B);\)
\(50\% = P(B \setminus A) + 40\%;\)
\(P(B \setminus A) = 10\%;\)
Ответ: 10%.

4) Вероятность этого только у одного из них:
\(P(X) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A);\)
\(P(X) = 20\% + 10\% = 30\%;\)
Ответ: 30%.

Вероятность, что первая рыба будет карпом:
\(
P(A) = \frac{3}{5} = 60\%
\)
— вероятность того, что карп будет пойман у Пети;
\(
P(B) = \frac{1}{2} = 50\%
\)
— вероятность того, что карп будет пойман у Андрея;
\(
P(A \cup B) = \frac{7}{10} = 70\%
\)
— вероятность того, что карп будет пойман хотя бы у одного из мальчиков.

1) Вероятность того, что карп будет пойман как у Пети, так и у Андрея:
Используем формулу для объединения событий:
\(
P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B),
\)
где \(P(A \cap B)\) — вероятность того, что карп будет пойман одновременно у обоих. Подставляем известные значения:
\(
70\% = 60\% + 50\% — P(A \cap B).
\)
Вычисляем:
\(
P(A \cap B) = 60\% + 50\% — 70\% = 40\%.
\)
Ответ: вероятность того, что карп будет пойман как у Пети, так и у Андрея, равна \(40\%\).

2) Вероятность того, что карп будет пойман только у Пети:
Используем формулу:
\(
P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B),
\)
где \(P(A \setminus B)\) — вероятность того, что карп будет пойман только у Пети, а \(P(A \cap B)\) — вероятность одновременного успеха у обоих. Подставляем известные значения:
\(
60\% = P(A \setminus B) + 40\%.
\)
Вычисляем:
\(
P(A \setminus B) = 60\% — 40\% = 20\%.
\)
Ответ: вероятность того, что карп будет пойман только у Пети, равна \(20\%\).

3) Вероятность того, что карп будет пойман только у Андрея:
Используем формулу:
\(
P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B),
\)
где \(P(B \setminus A)\) — вероятность того, что карп будет пойман только у Андрея, а \(P(A \cap B)\) — вероятность одновременного успеха у обоих. Подставляем известные значения:
\(
50\% = P(B \setminus A) + 40\%.
\)
Вычисляем:
\(
P(B \setminus A) = 50\% — 40\% = 10\%.
\)
Ответ: вероятность того, что карп будет пойман только у Андрея, равна \(10\%\).

4) Вероятность того, что карп будет пойман только у одного из них:
Используем формулу:
\(
P(X) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A),
\)
где \(P(X)\) — вероятность того, что карп будет пойман только у одного из мальчиков. Подставляем значения:
\(
P(X) = 20\% + 10\% = 30\%.
\)
Ответ: вероятность того, что карп будет пойман только у одного из мальчиков, равна \(30\%\).