ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 18.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Выпускники курсов иностранных языков изучали английский, немецкий и французский языки. Вероятность того, что наугад выбранный выпускник знает английский и немецкий языки, равна 0,6, немецкий и французский — 0,5, а английский и французский — 0,4. Может ли администрация курсов гарантировать, что в среднем каждый четвёртый выпускник знает все три языка?

Вероятность, что выпускник изучал:
\(P(A) = 0,6\) — английский и немецкий;
\(P(B) = 0,5\) — немецкий и французский;
\(P(C) = 0,4\) — английский и французский;

Вероятность, что он знает все три языка:
\(P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) — 2P(A ∩ B ∩ C);\)

\(P(A ∩ B ∩ C) = (P(A) + P(B) + P(C) — P(A ∪ B ∪ C)) / 2;\)

\(P(A ∩ B ∩ C) ≥ (0,6 + 0,5 + 0,4 — 1) / 2 = 0,5 / 2 = 1 / 4;\)

Ответ: да.

Даны следующие вероятности:
\( P(A) = 0,6 \text{ — вероятность того, что выпускник изучал английский и немецкий;} \)
\( P(B) = 0,5 \text{ — вероятность того, что выпускник изучал немецкий и французский;} \)
\( P(C) = 0,4 \text{ — вероятность того, что выпускник изучал английский и французский.} \)

Нужно определить вероятность \( P(A \cap B \cap C) \), то есть вероятность того, что выпускник знает все три языка.

Для этого используется формула объединения множеств:
\( P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) — 2P(A \cap B \cap C). \)

Эта формула учитывает, что вероятность объединения всех трёх событий (знание всех языков) зависит от вероятностей каждого из событий и их пересечений.

Выразим \( P(A \cap B \cap C) \) через эту формулу:
\( P(A \cap B \cap C) = \frac{P(A) + P(B) + P(C) — P(A \cup B \cup C)}{2}. \)

Теперь подставим значения:
\( P(A \cap B \cap C) \geq \frac{P(A) + P(B) + P(C) — P(A \cup B \cup C)}{2}. \)
По условию задачи известно, что вероятность \( P(A \cup B \cup C) \) равна 1 (выпускник знает хотя бы один язык). Подставим это значение:
\( P(A \cap B \cap C) \geq \frac{0,6 + 0,5 + 0,4 — 1}{2}. \)

Выполним вычисления в числителе:
\( P(A \cap B \cap C) \geq \frac{1,5 — 1}{2}. \)
\( P(A \cap B \cap C) \geq \frac{0,5}{2}. \)
\( P(A \cap B \cap C) \geq \frac{1}{4}. \)

Таким образом, вероятность того, что выпускник знает все три языка, равна или больше \( \frac{1}{4} \) (25%).

Ответ: да.