ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В коробке лежат ручки:
\( H_1 = 24 \) — синие;
\( H_2 = 16 \) — красные;
\( P_{H_1}(A) = 90\% \) — распознать синюю;
\( P_{H_2}(A) = 70\% \) — распознать красную.

1) Вероятность, что число будет распознано:
\(
P(A) = P_{H_1}(A) \cdot P(H_1) + P_{H_2}(A) \cdot P(H_2);
\)
\(
P(A) = \frac{24}{24 + 16} \cdot 90\% + \frac{16}{24 + 16} \cdot 70\%;
\)
\(
P(A) = \frac{3}{5} \cdot 90\% + \frac{2}{5} \cdot 70\% = 54\% + 28\% = 82\%;
\)
Ответ: 82%.

2) Вероятность, что была выбрана красная ручка при условии, что число распознано:
\(
P_A(H_2) = \frac{P_{H_2}(A) \cdot P(H_2)}{P(A)};
\)
\(
P_A(H_2) = \frac{\frac{16}{24 + 16} \cdot 70\%}{82\%};
\)
\(
P_A(H_2) = \frac{\frac{2}{5} \cdot 70}{82} = \frac{14}{41}.
\)

Ответ: \(\frac{14}{41}\).

В коробке лежат ручки:
\( H_1 = 24 \) — синие;
\( H_2 = 16 \) — красные;
\( P_{H_1}(A) = 90\% \) — вероятность распознать синюю;
\( P_{H_2}(A) = 70\% \) — вероятность распознать красную.

1) Вероятность, что число будет распознано:

Согласно формуле полной вероятности, вероятность события \( A \) (распознавание ручки) вычисляется как:
\(
P(A) = P_{H_1}(A) \cdot P(H_1) + P_{H_2}(A) \cdot P(H_2).
\)

Вероятности \( P(H_1) \) и \( P(H_2) \) определяются как доля соответствующих ручек в коробке:
\(
P(H_1) = \frac{H_1}{H_1 + H_2}, \quad P(H_2) = \frac{H_2}{H_1 + H_2}.
\)

Подставим значения:
\(
P(H_1) = \frac{24}{24 + 16} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}, \quad P(H_2) = \frac{16}{24 + 16} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}.
\)

Теперь вычислим \( P(A) \):
\(
P(A) = P_{H_1}(A) \cdot P(H_1) + P_{H_2}(A) \cdot P(H_2).
\)
\(
P(A) = 90\% \cdot \frac{3}{5} + 70\% \cdot \frac{2}{5}.
\)

Преобразуем проценты в десятичную форму:
\(
P(A) = 0.9 \cdot \frac{3}{5} + 0.7 \cdot \frac{2}{5}.
\)

Выполним умножение:
\(
P(A) = \frac{3 \cdot 0.9}{5} + \frac{2 \cdot 0.7}{5} = \frac{2.7}{5} + \frac{1.4}{5}.
\)

Сложим дроби:
\(
P(A) = \frac{2.7 + 1.4}{5} = \frac{4.1}{5} = 0.82.
\)

Итак, вероятность того, что число будет распознано, равна:
\(
P(A) = 82\%.
\)

Ответ: 82%.

2) Вероятность, что была выбрана красная ручка при условии, что число распознано:

Используем формулу Байеса:
\(
P_A(H_2) = \frac{P_{H_2}(A) \cdot P(H_2)}{P(A)}.
\)

Подставим значения:
\(
P_A(H_2) = \frac{P_{H_2}(A) \cdot P(H_2)}{P(A)} = \frac{70\% \cdot \frac{16}{40}}{82\%}.
\)

Преобразуем проценты в десятичную форму:
\(
P_A(H_2) = \frac{0.7 \cdot \frac{16}{40}}{0.82}.
\)

Упростим дробь \( \frac{16}{40} \):
\(
\frac{16}{40} = \frac{2}{5}.
\)

Подставим упрощенное значение:
\(
P_A(H_2) = \frac{0.7 \cdot \frac{2}{5}}{0.82}.
\)

Выполним умножение в числителе:
\(
P_A(H_2) = \frac{\frac{1.4}{5}}{0.82}.
\)

Теперь выразим результат в виде дроби:
\(
P_A(H_2) = \frac{1.4}{5 \cdot 0.82} = \frac{1.4}{4.1}.
\)

Упростим дробь:
\(
P_A(H_2) = \frac{14}{41}.
\)

Итак, вероятность того, что была выбрана красная ручка при условии, что число распознано, равна:
\(
P_A(H_2) = \frac{14}{41}.
\)

Ответ: \( \frac{14}{41} \).