ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Два завода производят зонты:
\( H_1 = 30\% \) — первый;
\( H_2 = 70\% \) — второй;
\( P_{H_1}(A) = 1\% \) — брака у первого;
\( P_{H_2}(A) = 3\% \) — брака у второго;

1) Вероятность, что зонт бракованный:
\(
P(A) = P_{H_1}(A) \cdot P(H_1) + P_{H_2}(A) \cdot P(H_2);
\)
\(
P(A) = 30\% \cdot 1\% + 70\% \cdot 3\%;
\)
\(
P(A) = 0,3 \cdot 0,01 + 0,7 \cdot 0,03;
\)
\(
P(A) = 0,003 + 0,021 = 0,024 = 2,4\%;
\)
Ответ: \( 2,4\% \).

2) Вероятность, что зонт сделан первым заводом при условии, что он исправный:
\(
P_A(H_1) = \frac{P_{H_1}(A) \cdot P(H_1)}{P(A)};
\)
\(
P_A(H_1) = \frac{99\% \cdot 30\%}{97,6\%};
\)
\(
P_A(H_1) = \frac{2970}{9760} = \frac{297}{976}.
\)
Ответ: \( \frac{297}{976} \).

Два завода производят зонты:
\( H_1 = 30\% \) — первый завод;
\( H_2 = 70\% \) — второй завод;
\( P_{H_1}(A) = 1\% \) — вероятность брака для зонтов с первого завода;
\( P_{H_2}(A) = 3\% \) — вероятность брака для зонтов со второго завода.

1. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный зонт окажется бракованным.

Обозначим событие \( A \) как «зонт бракованный». Тогда общая вероятность события \( A \) вычисляется по формуле полной вероятности:
\(
P(A) = P_{H_1}(A) \cdot P(H_1) + P_{H_2}(A) \cdot P(H_2).
\)

Подставим значения:
\(
P(A) = 30\% \cdot 1\% + 70\% \cdot 3\%.
\)

Переведем проценты в десятичные дроби:
\(
P(A) = 0.3 \cdot 0.01 + 0.7 \cdot 0.03.
\)

Выполним вычисления:
\(
P(A) = 0.003 + 0.021 = 0.024.
\)

Переведем результат обратно в проценты:
\(
P(A) = 2.4\%.
\)

Таким образом, вероятность того, что зонт окажется бракованным, составляет \( 2.4\% \).

2. Необходимо найти вероятность того, что исправный зонт был произведен первым заводом.

Обозначим событие \( H_1 \) как «зонт произведен первым заводом». Тогда условная вероятность \( P_A(H_1) \) вычисляется по формуле Байеса:
\(
P_A(H_1) = \frac{P(H_1) \cdot P_{H_1}(\overline{A})}{P(\overline{A})},
\)
где \( \overline{A} \) — событие «зонт исправный».

Используем связь между вероятностями брака и исправности:
\(
P_{H_1}(\overline{A}) = 1 — P_{H_1}(A), \quad P_{H_2}(\overline{A}) = 1 — P_{H_2}(A).
\)

Вычислим вероятность события \( \overline{A} \):
\(
P(\overline{A}) = P_{H_1}(\overline{A}) \cdot P(H_1) + P_{H_2}(\overline{A}) \cdot P(H_2).
\)

Подставим значения:
\(
P(\overline{A}) = (1 — 0.01) \cdot 0.3 + (1 — 0.03) \cdot 0.7.
\)

Выполним вычисления:
\(
P(\overline{A}) = 0.99 \cdot 0.3 + 0.97 \cdot 0.7.
\)
\(
P(\overline{A}) = 0.297 + 0.679 = 0.976.
\)

Теперь вычислим \( P_A(H_1) \):
\(
P_A(H_1) = \frac{P(H_1) \cdot P_{H_1}(\overline{A})}{P(\overline{A})}.
\)

Подставим значения:
\(
P_A(H_1) = \frac{0.3 \cdot 0.99}{0.976}.
\)

Выполним вычисления:
\(
P_A(H_1) = \frac{0.297}{0.976}.
\)

Оставим результат в виде дроби:
\(
P_A(H_1) = \frac{297}{976}.
\)

Таким образом, вероятность того, что исправный зонт был произведен первым заводом, составляет \( \frac{297}{976} \).