ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 19.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Из коробки, в которой лежат 10 синих и 18 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Вычислите вероятность того, что первый взятый шар синий, при условии, что второй шар оказался красным.

В коробке лежат шары:
\( X = 10 \) — синие;
\( Y = 18 \) — красные;
\( H_1 \) — первый шар красный;
\( H_2 \) — первый шар синий;

1) Вероятность, что второй шар красный:
\(
P(A) = P(H_1) \cdot P_{H_1}(A) + P(H_2) \cdot P_{H_2}(A);
\)
\(
P(A) = \frac{18}{10+18} \cdot \frac{17}{10+17} + \frac{10}{10+18} \cdot \frac{18}{9+18};
\)
\(
P(A) = \frac{18}{28} \cdot \frac{17}{27} + \frac{10}{28} \cdot \frac{18}{27} = \frac{486}{756} = \frac{9}{14}.
\)

2) Вероятность, что первый шар синий при условии, что второй шар красный:
\(
P_A(H_2) = \frac{P_{H_2}(A) \cdot P(H_2)}{P(A)};
\)
\(
P_A(H_2) = \frac{\frac{18}{10+17} \cdot \frac{10}{10+18}}{\frac{9}{14}};
\)
\(
P_A(H_2) = \frac{\frac{18 \cdot 10}{27 \cdot 28}}{\frac{9}{14}} = \frac{18 \cdot 10 \cdot 14}{27 \cdot 28 \cdot 9} = \frac{10}{27}.
\)

Ответ:
\(
\frac{10}{27}.
\)

В коробке лежат шары:
\( X = 10 \) — синие;
\( Y = 18 \) — красные;
\( H_1 \) — первый шар красный;
\( H_2 \) — первый шар синий.

1) Вероятность, что второй шар красный:

Обозначим событие \( A \) — второй шар красный.
Для вычисления вероятности \( P(A) \) используем формулу полной вероятности:

\(
P(A) = P(H_1) \cdot P_{H_1}(A) + P(H_2) \cdot P_{H_2}(A),
\)

где:
— \( P(H_1) \) — вероятность того, что первый шар красный;
— \( P_{H_1}(A) \) — вероятность того, что второй шар красный при условии, что первый шар был красным;
— \( P(H_2) \) — вероятность того, что первый шар синий;
— \( P_{H_2}(A) \) — вероятность того, что второй шар красный при условии, что первый шар был синим.

Вычислим каждую составляющую:

1. \( P(H_1) = \frac{18}{10+18} = \frac{18}{28} \),
так как первый шар выбирается случайно, а всего шаров \( 10 + 18 = 28 \), из которых \( 18 \) красные.

2. \( P_{H_1}(A) = \frac{17}{10+17} = \frac{17}{27} \),
так как после того, как первый шар оказался красным, в коробке осталось \( 17 \) красных шаров и всего \( 10 + 17 = 27 \) шаров.

3. \( P(H_2) = \frac{10}{10+18} = \frac{10}{28} \),
так как первый шар выбирается случайно, а всего шаров \( 10 + 18 = 28 \), из которых \( 10 \) синие.

4. \( P_{H_2}(A) = \frac{18}{9+18} = \frac{18}{27} \),
так как после того, как первый шар оказался синим, в коробке осталось \( 18 \) красных шаров и всего \( 9 + 18 = 27 \) шаров.

Теперь подставим значения в формулу полной вероятности:

\(
P(A) = \frac{18}{28} \cdot \frac{17}{27} + \frac{10}{28} \cdot \frac{18}{27}.
\)

Выполним вычисления:

\(
P(A) = \frac{18}{28} \cdot \frac{17}{27} + \frac{10}{28} \cdot \frac{18}{27} = \frac{306}{756} + \frac{180}{756} = \frac{486}{756}.
\)

Сократим дробь:

\(
P(A) = \frac{486}{756} = \frac{9}{14}.
\)

Таким образом, вероятность того, что второй шар будет красным, равна \( \frac{9}{14} \).

2) Вероятность, что первый шар синий при условии, что второй шар красный:

Используем формулу Байеса:

\(
P_A(H_2) = \frac{P_{H_2}(A) \cdot P(H_2)}{P(A)},
\)

где:
— \( P_A(H_2) \) — вероятность того, что первый шар синий при условии, что второй шар красный;
— \( P_{H_2}(A) \) — вероятность того, что второй шар красный при условии, что первый шар был синим;
— \( P(H_2) \) — вероятность того, что первый шар синий;
— \( P(A) \) — вероятность того, что второй шар красный (найдена ранее).

Подставим известные значения:

\(
P_A(H_2) = \frac{\frac{18}{10+17} \cdot \frac{10}{10+18}}{\frac{9}{14}}.
\)

Выполним вычисления:

1. Числитель:
\(
\frac{18}{10+17} \cdot \frac{10}{10+18} = \frac{18 \cdot 10}{27 \cdot 28}.
\)

2. Подставим в формулу:
\(
P_A(H_2) = \frac{\frac{18 \cdot 10}{27 \cdot 28}}{\frac{9}{14}} = \frac{18 \cdot 10 \cdot 14}{27 \cdot 28 \cdot 9}.
\)

3. Упростим выражение:
\(
P_A(H_2) = \frac{2520}{6804} = \frac{10}{27}.
\)

Таким образом, вероятность того, что первый шар был синим при условии, что второй шар оказался красным, равна \( \frac{10}{27} \).

Ответ:
\(
\frac{10}{27}.
\)