ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 4^x = 64; \\
2) & \quad 3^x = \frac{1}{81}; \\
3) & \quad 0.6^{2x-3} = 1; \\
4) & \quad 10^{-x} = 0.001; \\
5) & \quad 2^{5-x} = 2^{3x-7}; \\
6) & \quad 8^x = 16; \\
7) & \quad 0.16^x = \frac{5}{2}; \\
8) & \quad \sqrt{5^x} = 25; \\
9) & \quad 0.25^{(x^2-4)} = 2^{(x^2+1)}; \\
10) & \quad \left(\frac{4}{9}\right)^{(x-1)} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{(x-1)} = \frac{2}{3}; \\
11) & \quad 2^x \cdot 5^x = 0.1 \cdot (10^{(x-1)})^5; \\
12) & \quad \left(\frac{4}{7}\right)^{(3x-7)} = \left(\frac{7}{4}\right)^{(7x-3)}; \\
13) & \quad 36^x = \left(\frac{1}{216}\right)^{(2-x)}; \\
14) & \quad 5^{(x^2-2x)} = 6^{(x^2-2x)}; \\
15) & \quad 3^{(x-1)} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{(x+1)}.
\end{align*}
\)

1) \(4^x = 64\)
\(4^x = 4^3\)
\(x = 3\)
Ответ: \(3\)

2) \(3^x = \frac{1}{81}\)
\(3^x = 3^{-4}\)
\(x = -4\)
Ответ: \(-4\)

3) \(0,6^{2x-3} = 1\)
\(2x — 3 = 0\)
\(2x = 3\)
\(x = 1,5\)
Ответ: \(1,5\)

4) \(10^{-x} = 0,001\)
\(10^{-x} = 10^{-3}\)
\(-x = -3\)
\(x = 3\)
Ответ: \(3\)

5) \(25^{-x} = 23^{x-7}\)
\(5^{-x} = 3^{x-7}\)
\(4x = 12\)
\(x = 3\)
Ответ: \(3\)

6) \(8^x = 16\)
\(2^{3x} = 2^4\)
\(3x = 4\)
\(x = \frac{4}{3}\)
Ответ: \(\frac{4}{3}\)

7) \(0,16^x = \frac{5}{2}\)
\(\left(\frac{16}{100}\right)^x = \frac{5}{2}\)
\(\left(\frac{4}{25}\right)^x = \frac{5}{2}\)
\(\left(\frac{2}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\)
\(2x = -1\)
\(x = -0,5\)
Ответ: \(-0,5\)

8) \(\sqrt{5^x} = 25\)
\(5^{\frac{x}{2}} = 5^2\)
\(\frac{x}{2} = 2\)
\(x = 4\)
Ответ: \(4\)

9) \(0,25^{x^2-4} = 2^{x^2+1}\)
\(\left(\frac{25}{100}\right)^{x^2-4} = 2^{x^2+1}\)
\(\left(\frac{1}{4}\right)^{x^2-4} = 2^{x^2+1}\)
\(2^{-2(x^2-4)} = 2^{x^2+1}\)
\(8 — 2x^2 = x^2 + 1\)
\(3x^2 = 7\)
\(x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\)
Ответ: \(\pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\)

10) \(\left(\frac{4}{9}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{2(x-1)} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3(x-1)} = \frac{2}{3}\)
\((2x — 2) + (3 — 3x) = 1\)
\(1 — x = 1\)
\(x = 0\)
Ответ: \(0\)

11) \(2^x \cdot 5^x = 0,1 \cdot (10^{x-1})^5\)
\(10^{x} = 10^{x-1} \cdot 10^{5(x-1)}\)
\(x = -1 + \log_5(25)\)
\(4x = 6\)
\(x = 1,5\)
Ответ: \(1,5\)

12) \(\left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{7x-3}\)
\(\left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{4}{7}\right)^{3-7x}\)
\(3x — 7 = 3 — 7x\)
\(10x = 10\)
\(x = 1\)
Ответ: \(1\)

13) \(36^x = \left(\frac{1}{216}\right)^{2-x}\)
\(6^{2x} = 6^{-3(2-x)}\)
\(2x = 3x — 6\)
\(x = 6\)
Ответ: \(6\)

14) \(5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x}\)
\(x^2 — 2x = 0\)
\(x(x — 2) = 0\)
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\)
Ответ: \(0; 2\)

15) \(3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}\)
\(3^{x-1} = (3^x \cdot 2^{-x}) \cdot 3^{x+1}\)
\(3^{x-1} = 3^{2x+1}\)
\(x — 1 = 2x + 1\)
\(x = -2\)
Ответ: \(-2\)

1) \(4^x = 64\)
Представим \(64\) как степень \(4\):
\(4^x = 4^3\)
Приравняем показатели:
\(x = 3\)
Ответ: \(x = 3\)

2) \(3^x = \frac{1}{81}\)
Представим \(81\) как степень \(3\):
\(3^x = 3^{-4}\)
Приравняем показатели:
\(x = -4\)
Ответ: \(x = -4\)

3) \(0.6^{2x-3} = 1\)
Любое число в степени \(0\) равно \(1\):
\(2x — 3 = 0\)
Решим уравнение:
\(2x = 3\)
\(x = 1.5\)
Ответ: \(x = 1.5\)

4) \(10^{-x} = 0.001\)
Представим \(0.001\) как степень \(10\):
\(10^{-x} = 10^{-3}\)
Приравняем показатели:
\(-x = -3\)
\(x = 3\)
Ответ: \(x = 3\)

5) \(2^{5-x} = 2^{3x-7}\)
Приравняем показатели степеней:
\(5 — x = 3x — 7\)
Решим уравнение:
\(5 + 7 = 3x + x\)
\(12 = 4x\)
\(x = 3\)
Ответ: \(x = 3\)

6) \(8^x = 16\)
Представим \(8\) и \(16\) как степени \(2\):
\(2^{3x} = 2^4\)
Приравняем показатели:
\(3x = 4\)
\(x = \frac{4}{3}\)
Ответ: \(x = \frac{4}{3}\)

7) \(0.16^x = \frac{5}{2}\)
Представим \(0.16\) как дробь:
\(\left(\frac{16}{100}\right)^x = \frac{5}{2}\)
Упростим:
\(\left(\frac{4}{25}\right)^x = \frac{5}{2}\)
Представим \(\frac{4}{25}\) как \(\left(\frac{2}{5}\right)^2\):
\(\left(\frac{2}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\)
Приравняем показатели:
\(2x = -1\)
\(x = -0.5\)
Ответ: \(x = -0.5\)

8) \(\sqrt{5^x} = 25\)
Представим \(25\) как \(5^2\):
\(5^{\frac{x}{2}} = 5^2\)
Приравняем показатели:
\(\frac{x}{2} = 2\)
\(x = 4\)
Ответ: \(x = 4\)

9) \(0.25^{x^2-4} = 2^{x^2+1}\)
Представим \(0.25\) как \(\frac{1}{4}\):
\(\left(\frac{1}{4}\right)^{x^2-4} = 2^{x^2+1}\)
Перейдем к основанию \(2\):
\(2^{-2(x^2-4)} = 2^{x^2+1}\)
Приравняем показатели:
\(-2(x^2 — 4) = x^2 + 1\)
\(-2x^2 + 8 = x^2 + 1\)
\(8 — 1 = 3x^2\)
\(3x^2 = 7\)
\(x^2 = \frac{7}{3}\)
\(x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\)
Ответ: \(x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\)

10) \(\left(\frac{4}{9}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3}\)
Представим дроби как степени:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{2(x-1)} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3(x-1)} = \frac{2}{3}\)
Объединим показатели:
\((2x — 2) + (-3x + 3) = 1\)
\(1 — x = 1\)
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\)

11) \(2^x \cdot 5^x = 0.1 \cdot (10^{x-1})^5\)
Представим \(10^{x}\) как \(2^x \cdot 5^x\):
\(10^x = 10^{x-1} \cdot 10^{5(x-1)}\)
Приравняем показатели:
\(x = -1 + \log_5(25)\)
Решим уравнение:
\(4x = 6\)
\(x = 1.5\)
Ответ: \(x = 1.5\)

12) \(\left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{7x-3}\)
Представим \(\left(\frac{7}{4}\right)\) как \(\left(\frac{4}{7}\right)^{-1}\):
\(\left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{4}{7}\right)^{3-7x}\)
Приравняем показатели:
\(3x — 7 = 3 — 7x\)
\(10x = 10\)
\(x = 1\)
Ответ: \(x = 1\)

13) \(36^x = \left(\frac{1}{216}\right)^{2-x}\)
Представим \(36\) и \(216\) как степени \(6\):
\(6^{2x} = 6^{-3(2-x)}\)
Приравняем показатели:
\(2x = -6 + 3x\)
\(x = 6\)
Ответ: \(x = 6\)

14) \(5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x}\)
Приравняем показатели:
\(x^2 — 2x = 0\)
Разложим на множители:
\(x(x-2) = 0\)
\(x_1 = 0, \, x_2 = 2\)
Ответ: \(x = 0; \, x = 2\)

15) \(3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}\)
Представим \(6^x\) как \(3^x \cdot 2^x\):
\(3^{x-1} = (3^x \cdot 2^{-x}) \cdot 3^{x+1}\)
Объединим степени:
\(3^{x-1} = 3^{2x+1}\)
Приравняем показатели:
\(x — 1 = 2x + 1\)
\(x = -2\)
Ответ: \(x = -2\)