ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 5^{(x+1)} + 5^{x} + 5^{(x-1)} = 31; \\
2) & \quad 3^{(x+1)} — 2 \cdot 3^{(x-1)} — 4 \cdot 3^{(x-2)} = 17; \\
3) & \quad 2^{(x+2)} — 2^{(x+1)} + 2^{(x-1)} — 2^{(x-2)} = 9; \\
4) & \quad 2 \cdot 3^{(2x+1)} + 3^{(2x-1)} — 5 \cdot 3^{(2x)} = 36; \\
5) & \quad 6^{(x-2)} — \left(\frac{1}{6}\right)^{(3-x)} + 36^{\frac{(x-1)}{2}} = 246; \\
6) & \quad 5 \cdot 2^{(x-1)} — 6 \cdot 2^{(x-2)} — 7 \cdot 2^{(x-3)} = 8^{(x^2-1)}.
\end{align*}
\)

1) \(5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31;\)
\(5^x \cdot 5 + 5^x + 5^x \cdot 5^{-1} = 31;\)
\(5^x \cdot (5 + 1 + \frac{1}{5}) = 31;\)
\(\frac{31}{5} \cdot 5^x = 31;\)
\(5^x = 5;\)
\(x = 1;\)
Ответ: \(1.\)

2) \(3^{x+1} — 2 \cdot 3^{x-1} — 4 \cdot 3^{x-2} = 17;\)
\(3^x \cdot 3 — 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} — 4 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} = 17;\)
\(3^x \cdot \left(3 — 2 — \frac{4}{9}\right) = 17;\)
\(3^x \cdot \frac{17}{9} = 17;\)
\(3^x \cdot 2 = 17;\)
\(3^x = 32;\)
\(x = 2;\)
Ответ: \(2.\)

3) \(2^{x+2} — 2^{x+1} + 2^{x-1} — 2^{x-2} = 9;\)
\(2^x \cdot 2^2 — 2^x \cdot 2 + 2^x \cdot 2^{-1} — 2^x \cdot 2^{-2} = 9;\)
\(2^x \cdot \left(4 — 2 + \frac{1}{2} — \frac{1}{4}\right) = 9;\)
\(\frac{9}{4} \cdot 2^x = 9;\)
\(2^x = 4;\)
\(2^x = 2^2;\)
\(x = 2;\)
Ответ: \(2.\)

4) \(2 \cdot 3^{2x+1} + 3^{2x-1} — 5 \cdot 3^{2x} = 36;\)
\(2 \cdot 3^{2x-1} \cdot 3^2 + 3^{2x-1} — 5 \cdot 3^{2x-1} \cdot 3 = 36;\)
\(3^{2x-1} \cdot \left(18 + 1 — 15\right) = 36;\)
\(3^{2x-1} \cdot 4 = 36;\)
\(3^{2x-1} = 9;\)
\(3^{2x-1} = 3^2;\)
\(2x — 1 = 2;\)
\(2x = 3;\)
\(x = 1,5;\)
Ответ: \(1,5.\)

5) \(6^{x-2} — \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{x-1} \cdot 36^{\frac{1}{2}} = 246;\)
\(6^{x-2} — 6^{-(3-x)} + 36^{x-1} \cdot 36^{\frac{1}{2}} = 246;\)
\(6^x \cdot 6^{-2} — 6^x \cdot 6^{-3} + 6^x \cdot 6^{-1} = 246;\)
\(6^x \cdot \left(\frac{1}{36} — \frac{1}{216} + \frac{1}{6}\right) = 246;\)
\(6^x \cdot \frac{41}{216} = 246;\)
\(6^x = 1296;\)
\(6^x = 6^4;\)
\(x = 4;\)
Ответ: \(4.\)

6) \(5 \cdot 2^{x-1} — 6 \cdot 2^{x-2} — 7 \cdot 2^{x-3} = 8 \cdot 2^{x^2-1};\)
\(5 \cdot 2^x \cdot 2^{-1} — 6 \cdot 2^x \cdot 2^{-2} — 7 \cdot 2^x \cdot 2^{-3} = 2^{3(x^2-1)};\)
\(2^x \cdot \left(\frac{5}{2} — \frac{6}{4} — \frac{7}{8}\right) = 2^{3x^2} \cdot 2^{-3};\)
\(2^x \cdot \frac{1}{8} = 2^{3x^2} \cdot \frac{1}{8};\)
\(2^x = 2^{3x^2};\)
\(x = 3x^2;\)
\(3x^2 — x = 0;\)
\(x \cdot (3x — 1) = 0;\)
\(x_1 = 0, \, x_2 = \frac{1}{3};\)
Ответ: \(0; \frac{1}{3}.\)

1) \(5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31\)
Преобразуем степени:
\(5^x \cdot 5 + 5^x + 5^x \cdot 5^{-1} = 31\)
Вынесем \(5^x\) за скобки:
\(5^x \cdot \left(5 + 1 + \frac{1}{5}\right) = 31\)
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(5 + 1 + \frac{1}{5} = \frac{25}{5} + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{31}{5}\)
Подставим обратно:
\(5^x \cdot \frac{31}{5} = 31\)
Упростим:
\(5^x = 5\)
Распишем степень:
\(5^x = 5^1\)
Следовательно, \(x = 1\).
Ответ: \(1\).

2) \(3^{x+1} — 2 \cdot 3^{x-1} — 4 \cdot 3^{x-2} = 17\)
Преобразуем степени:
\(3^x \cdot 3 — 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} — 4 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} = 17\)
Вынесем \(3^x\) за скобки:
\(3^x \cdot \left(3 — 2 \cdot \frac{1}{3} — 4 \cdot \frac{1}{9}\right) = 17\)
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(3 — \frac{2}{3} — \frac{4}{9} = \frac{27}{9} — \frac{6}{9} — \frac{4}{9} = \frac{17}{9}\)
Подставим обратно:
\(3^x \cdot \frac{17}{9} = 17\)
Упростим:
\(3^x = 9\)
Распишем степень:
\(3^x = 3^2\)
Следовательно, \(x = 2\).
Ответ: \(2\).

3) \(2^{x+2} — 2^{x+1} + 2^{x-1} — 2^{x-2} = 9\)
Преобразуем степени:
\(2^x \cdot 2^2 — 2^x \cdot 2 + 2^x \cdot 2^{-1} — 2^x \cdot 2^{-2} = 9\)
Вынесем \(2^x\) за скобки:
\(2^x \cdot \left(4 — 2 + \frac{1}{2} — \frac{1}{4}\right) = 9\)
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(4 — 2 + \frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{16}{4} — \frac{8}{4} + \frac{2}{4} — \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\)
Подставим обратно:
\(2^x \cdot \frac{9}{4} = 9\)
Упростим:
\(2^x = 4\)
Распишем степень:
\(2^x = 2^2\)
Следовательно, \(x = 2\).
Ответ: \(2\).

4) \(2 \cdot 3^{2x+1} + 3^{2x-1} — 5 \cdot 3^{2x} = 36\)
Преобразуем степени:
\(2 \cdot 3^{2x-1} \cdot 3^2 + 3^{2x-1} — 5 \cdot 3^{2x-1} \cdot 3 = 36\)
Вынесем \(3^{2x-1}\) за скобки:
\(3^{2x-1} \cdot \left(2 \cdot 9 + 1 — 5 \cdot 3\right) = 36\)
Упростим выражение в скобках:
\(2 \cdot 9 + 1 — 5 \cdot 3 = 18 + 1 — 15 = 4\)
Подставим обратно:
\(3^{2x-1} \cdot 4 = 36\)
Упростим:
\(3^{2x-1} = 9\)
Распишем степень:
\(3^{2x-1} = 3^2\)
Следовательно, \(2x — 1 = 2\)
Решим уравнение:
\(2x = 3\)
\(x = 1,5\).
Ответ: \(1,5\).

5) \(6^{x-2} — \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{x-1} \cdot 36^{\frac{1}{2}} = 246\)
Преобразуем степени:
\(6^{x-2} — 6^{-(3-x)} + 36^{x-1} \cdot 36^{\frac{1}{2}} = 246\)
\(6^x \cdot 6^{-2} — 6^x \cdot 6^{-3} + 6^x \cdot 6^{-1} = 246\)
Вынесем \(6^x\) за скобки:
\(6^x \cdot \left(\frac{1}{36} — \frac{1}{216} + \frac{1}{6}\right) = 246\)
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(\frac{1}{36} — \frac{1}{216} + \frac{1}{6} = \frac{6}{216} — \frac{1}{216} + \frac{36}{216} = \frac{41}{216}\)
Подставим обратно:
\(6^x \cdot \frac{41}{216} = 246\)
Упростим:
\(6^x = 1296\)
Распишем степень:
\(6^x = 6^4\)
Следовательно, \(x = 4\).
Ответ: \(4\).

6) \(5 \cdot 2^{x-1} — 6 \cdot 2^{x-2} — 7 \cdot 2^{x-3} = 8 \cdot 2^{x^2-1}\)
Преобразуем степени:
\(5 \cdot 2^x \cdot 2^{-1} — 6 \cdot 2^x \cdot 2^{-2} — 7 \cdot 2^x \cdot 2^{-3} = 2^{3(x^2-1)}\)
Вынесем \(2^x\) за скобки:
\(2^x \cdot \left(\frac{5}{2} — \frac{6}{4} — \frac{7}{8}\right) = 2^{3x^2} \cdot 2^{-3}\)
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(\frac{5}{2} — \frac{6}{4} — \frac{7}{8} = \frac{20}{8} — \frac{12}{8} — \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\)
Подставим обратно:
\(2^x \cdot \frac{1}{8} = 2^{3x^2} \cdot \frac{1}{8}\)
Упростим:
\(2^x = 2^{3x^2}\)
Распишем степени:
\(x = 3x^2\)
Решим квадратное уравнение:
\(3x^2 — x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x \cdot (3x — 1) = 0\)
Следовательно, \(x_1 = 0, \, x_2 = \frac{1}{3}\).
Ответ: \(0; \frac{1}{3}\).