ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( 2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0 \)

2) \( 4^{x+1} + 4^{1-x} = 10 \)

3) \( 5^{2x-3} — 2 \cdot 5^{x-2} = 3 \)

4) \( 9^x — 6 \cdot 3^{x-1} = 3 \)

5) \( 3^{x+1} + 3^{2-x} = 28 \)

6) \( \frac{9}{2^x — 1} — \frac{21}{2^x + 1} = 2 \)

1) \(2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0;\)
\(2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(2^x = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(2^x = \frac{5 + 3}{2} = 2;\)
\(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1;\)
Ответ: \(-1; 1.\)

2) \(4^{x+1} + 4^{1-x} = 10;\)
\(4 \cdot 4^x — 10 + \frac{4}{4^x} = 0;\)
\(2 \cdot 4^{2x} — 5 \cdot 4^x + 2 = 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(4^x = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(4^x = \frac{5 + 3}{2} = 2;\)
\(x_1 = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{1}{2};\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}.\)

3) \(5^{2x-3} — 2 \cdot 5^{x-2} = 3;\)
\(\frac{1}{125} \cdot 5^{2x} — 2 \cdot \frac{25}{5} \cdot 5^x — 3 = 0;\)
\(125 \cdot 5^{2x} — 10 \cdot 5^x — 375 = 0;\)
\(D = 10^2 + 4 \cdot 375 = 100 + 1500 = 1600,\) тогда:
\(5^x = \frac{10 — 40}{2} = 25\) и \(5^x = \frac{10 + 40}{2} = 25;\)
\(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2;\)
Ответ: \(2.\)

4) \(9^x — 6 \cdot 3^{x-1} = 3;\)
\(3^{2x} — 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3^x — 3 = 0;\)
\(3^{2x} — 2 \cdot 3^x — 3 = 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\) тогда:
\(3^x = \frac{2 — 4}{2} = -1\) и \(3^x = \frac{2 + 4}{2} = 3;\)
\(x_1\) — нет решения и \(x_2 = 1;\)
Ответ: \(1.\)

5) \(3^{x+1} + 3^{2-x} = 28;\)
\(3 \cdot 3^x — 28 + 9 \cdot \frac{1}{3^x} = 0;\)
\(3 \cdot 3^{2x} — 28 \cdot 3^x + 9 = 0;\)
\(D = 28^2 — 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 — 108 = 676,\) тогда:
\(3^x = \frac{28 — 26}{2 \cdot 3} = 1\) и \(3^x = \frac{28 + 26}{2 \cdot 3} = 9;\)
\(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2;\)
Ответ: \(-1; 2.\)

6) \(\frac{9}{2^{x-1}} — \frac{21}{2^{x+1}} = 2;\)
\(9(2^{x+1}) — 21(2^{x-1}) = 2(2^{2x-1});\)
\(9 \cdot 2^x + 9 — 21 \cdot 2^x + 21 = 2 \cdot 2^{2x} — 2;\)
\(2 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x — 32 = 0;\)
\(2^{2x} + 6 \cdot 2^x — 16 = 0;\)
\(D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100,\) тогда:
\(2^x = \frac{-6 — 10}{2} = -8\) и \(2^x = \frac{-6 + 10}{2} = 2;\)
\(x_1\) — нет решения и \(x_2 = 1;\)
Ответ: \(1.\)

1) Решим уравнение \( 2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0 \).

Преобразуем:
\(
2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0.
\)
Обозначим \( 2^x = t \), тогда уравнение примет вид:
\(
2t^2 — 5t + 2 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}.
\)
Получаем:
\(
t_1 = \frac{5 — 3}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2.
\)
Возвращаемся к замене \( 2^x = t \):
\(
2^x = 1 — x = -1, \quad 2^x = 2 — x = 1.
\)
Ответ: \( x = -1; 1 \).

2) Решим уравнение \( 4^{x+1} + 4^{1-x} = 10 \).

Преобразуем:
\(
4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} = 10.
\)
Обозначим \( 4^x = t \), тогда уравнение примет вид:
\(
4t + \frac{4}{t} = 10.
\)
Умножим обе части на \( t \):
\(
4t^2 — 10t + 4 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 100 — 64 = 36.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{10 \pm 6}{8}.
\)
Получаем:
\(
t_1 = \frac{10 — 6}{8} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{10 + 6}{8} = 2.
\)
Возвращаемся к замене \( 4^x = t \):
\(
4^x = \frac{1}{2} — x = -\frac{1}{2}, \quad 4^x = 2 — x = \frac{1}{2}.
\)
Ответ: \( x = -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \).

3) Решим уравнение \( 5^{2x-3} — 2 \cdot 5^{x-2} = 3 \).

Преобразуем:
\(
\frac{5^{2x}}{125} — \frac{2 \cdot 5^x}{25} = 3.
\)
Умножим обе части на \( 125 \):
\(
5^{2x} — 10 \cdot 5^x — 375 = 0.
\)
Обозначим \( 5^x = t \), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — 10t — 375 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-375) = 100 + 1500 = 1600.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 40}{2}.
\)
Получаем:
\(
t_1 = \frac{10 — 40}{2} = -15, \quad t_2 = \frac{10 + 40}{2} = 25.
\)
Возвращаемся к замене \( 5^x = t \):
\(
5^x = -15 \quad \text(нет решения), \quad 5^x = 25 — x = 2.
\)
Ответ: \( x = 2 \).

4) Решим уравнение \( 9^x — 6 \cdot 3^{x-1} = 3 \).

Преобразуем:
\(
3^{2x} — \frac{6 \cdot 3^x}{3} = 3.
\)
\(
3^{2x} — 2 \cdot 3^x — 3 = 0.
\)
Обозначим \( 3^x = t \), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — 2t — 3 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}.
\)
Получаем:
\(
t_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad t_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.
\)
Возвращаемся к замене \( 3^x = t \):
\(
3^x = -1 \quad \text(нет решения), \quad 3^x = 3 — x = 1.
\)
Ответ: \( x = 1 \).

5) Решим уравнение \( 3^{x+1} + 3^{2-x} = 28 \).

Преобразуем:
\(
3 \cdot 3^x + \frac{9}{3^x} = 28.
\)
Обозначим \( 3^x = t \), тогда уравнение примет вид:
\(
3t + \frac{9}{t} = 28.
\)
Умножим обе части на \( t \):
\(
3t^2 — 28t + 9 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-28)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 — 108 = 676.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
t = \frac{-(-28) \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{28 \pm 26}{6}.
\)
Получаем:
\(
t_1 = \frac{28 — 26}{6} = \frac{1}{3}, \quad t_2 = \frac{28 + 26}{6} = 9.
\)
Возвращаемся к замене \( 3^x = t \):
\(
3^x = \frac{1}{3} — x = -1, \quad 3^x = 9 — x = 2.
\)
Ответ: \( x = -1; 2 \).

6) Решим уравнение \( \frac{9}{2^x — 1} — \frac{21}{2^x + 1} = 2 \).

Преобразуем:
\(
\frac{9(2^x + 1) — 21(2^x — 1)}{(2^x — 1)(2^x + 1)} = 2.
\)
Упростим числитель:
\(
9(2^x + 1) — 21(2^x — 1) = 9 \cdot 2^x + 9 — 21 \cdot 2^x + 21 = -12 \cdot 2^x + 30.
\)
Получаем:
\(
\frac{-12 \cdot 2^x + 30}{(2^x — 1)(2^x + 1)} = 2.
\)
Умножим обе части на знаменатель:
\(
-12 \cdot 2^x + 30 = 2 \cdot (2^x — 1)(2^x + 1).
\)
Раскроем скобки:
\(
-12 \cdot 2^x + 30 = 2 \cdot (2^{2x} — 1).
\)
\(
-12 \cdot 2^x + 30 = 2 \cdot 2^{2x} — 2.
\)
Перенесем все в одну сторону:
\(
2 \cdot 2^{2x} + 12 \cdot 2^x — 32 = 0.
\)
Обозначим \( 2^x = t \), тогда уравнение примет вид:
\(
2t^2 + 12t — 32 = 0.
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 12^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-32) = 144 + 256 = 400.
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
t = \frac{-12 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 2} = \frac{-12 \pm 20}{4}.
\)
Получаем:
\(
t_1 = \frac{-12 — 20}{4} = -8, \quad t_2 = \frac{-12 + 20}{4} = 2.
\)
Возвращаемся к замене \( 2^x = t \):
\(
2^x = -8 \quad \text(нет решения), \quad 2^x = 2 — x = 1.
\)
Ответ: \( x = 1 \).