ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 3^{(2x+1)} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0; \\
2) & \quad 3^{(3-2x)} — 3 \cdot 2^{(1-x)} + 1 = 0; \\
3) & \quad 5^x — 0.2^{(x-1)} = 4; \\
4) & \quad 4^{(x+0.5)} + 7 \cdot 2^x = 4; \\
5) & \quad 3 \cdot 5^{(2x-1)} — 2 \cdot 5^{(x-1)} = 0.2; \\
6) & \quad \frac{5}{3^x — 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2.
\end{align*}
\)

1) \( 3^{2x+1} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \);
\( 3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \);
\( D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \), тогда:
\( 3^{x_1} = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = 1 \quad \text{и} \quad 3^{x_2} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3; \)
\( x_1 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = 1; \)
Ответ: \(-1; 1\).

2) \( 2^{3-2x} — 3 \cdot 2^{1-x} + 1 = 0 \);
\( 8 \cdot 2^{2x} — 3 \cdot 2 \cdot 2^x + 1 = 0 \);
\( 2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0 \);
\( D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \), тогда:
\( 2^{x_1} = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad 2^{x_2} = \frac{6 + 2}{2} = 4; \)
\( x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 2; \)
Ответ: \( 1; 2 \).

3) \( 5^x — 0,2^{x-1} = 4 \);
\( 5^x — 5 \cdot 5^{x-4} = 0 \);
\( 5^{2x} — 4 \cdot 5^x — 5 = 0 \);
\( D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36 \), тогда:
\( 5^{x_1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 5^{x_2} = \frac{-4 — 6}{2} = 5; \)
\( x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 1; \)
Ответ: \( 1 \).

4) \( 4x+0,5 + 7 \cdot 2^x = 4 \);
\( 2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^x — 4 = 0 \);
\( D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81 \), тогда:
\( 2^{x_1} = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 2} = -4 \quad \text{и} \quad 2^{x_2} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}; \)
\( x_1 \notin \mathbb{R} \quad \text{и} \quad x_2 = -1; \)
Ответ: \(-1\).

5) \( 3 \cdot 5^{2x-1} — 2 \cdot 5^{x-1} = 0,2 \);
\( 3 \cdot 5^{2x} — 2 \cdot 5^x = 1 \);
\( 3 \cdot 5^{2x} — 2 \cdot 5^x — 1 = 0 \);
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\( 5^{x_1} = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad 5^{x_2} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1; \)
\( x_1 \notin \mathbb{R} \quad \text{и} \quad x_2 = 0; \)
Ответ: \(0\).

6) \( \frac{5}{3^x — 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2 \);
\( 5 \cdot (3^x + 6) + 5 \cdot (3^x — 6) = 2 \cdot (3^{2x} — 36); \)
\( 5 \cdot 3^x + 30 + 5 \cdot 3^x — 30 = 2 \cdot 3^{2x} — 72; \)
\( 2 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x — 72 = 0; \)
\( 3^{2x} — 5 \cdot 3^x — 36 = 0; \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169 \), тогда:
\( 3^{x_1} = \frac{5 — 13}{2} = -4 \quad \text{и} \quad 3^{x_2} = \frac{5 + 13}{2} = 9; \)
\( x_1 \notin \mathbb{R} \quad \text{и} \quad x_2 = 2; \)
Ответ: \(2\).

1) \( 3^{2x+1} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \);
Представим уравнение в виде:
\( 3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \).
Введем замену \( t = 3^x \), тогда \( t > 0 \). Уравнение примет вид:
\( 3t^2 — 10t + 3 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \).
Корни квадратного уравнения:
\( t_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = 1 \),
\( t_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = 3 \).
Возвращаемся к замене:
\( 3^x = t \), тогда:
\( 3^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -1 \),
\( 3^x = 3 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 1 \).
Ответ: \(-1; 1\).

2) \( 2^{3-2x} — 3 \cdot 2^{1-x} + 1 = 0 \);
Представим уравнение в виде:
\( 8 \cdot 2^{2x} — 3 \cdot 2 \cdot 2^x + 1 = 0 \).
Введем замену \( t = 2^x \), тогда \( t > 0 \). Уравнение примет вид:
\( t^2 — 6t + 8 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \).
Корни квадратного уравнения:
\( t_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2 \),
\( t_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \).
Возвращаемся к замене:
\( 2^x = t \), тогда:
\( 2^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1 \),
\( 2^x = 4 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2 \).
Ответ: \(1; 2\).

3) \( 5^x — 0,2^{x-1} = 4 \);
Представим уравнение в виде:
\( 5^x — 5 \cdot 5^{x-4} = 0 \).
Умножим обе части на \( 5^x \), получим:
\( 5^{2x} — 4 \cdot 5^x — 5 = 0 \).
Введем замену \( t = 5^x \), тогда \( t > 0 \). Уравнение примет вид:
\( t^2 — 4t — 5 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \).
Корни квадратного уравнения:
\( t_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 6}{2} = 1 \),
\( t_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \).
Возвращаемся к замене:
\( 5^x = t \), тогда:
\( 5^x = 5 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1 \).
Ответ: \(1\).

4) \( 4x+0,5 + 7 \cdot 2^x = 4 \);
Представим уравнение в виде:
\( 2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^x — 4 = 0 \).
Введем замену \( t = 2^x \), тогда \( t > 0 \). Уравнение примет вид:
\( 2t^2 + 7t — 4 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \).
Корни квадратного уравнения:
\( t_1 = \frac{-7 — \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 — 9}{4} = -4 \),
\( t_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{1}{2} \).
Возвращаемся к замене:
\( 2^x = t \), тогда:
\( 2^x = -4 \quad \Rightarrow \quad x_1 \notin \mathbb{R} \),
\( 2^x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x_2 = -1 \).
Ответ: \(-1\).

5) \( 3 \cdot 5^{2x-1} — 2 \cdot 5^{x-1} = 0,2 \);
Представим уравнение в виде:
\( 3 \cdot 5^{2x} — 2 \cdot 5^x = 1 \).
Введем замену \( t = 5^x \), тогда \( t > 0 \). Уравнение примет вид:
\( 3t^2 — 2t — 1 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \).
Корни квадратного уравнения:
\( t_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{1}{3} \),
\( t_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \).
Возвращаемся к замене:
\( 5^x = t \), тогда:
\( 5^x = -\frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x_1 \notin \mathbb{R} \),
\( 5^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 0 \).
Ответ: \(0\).

6) \( \frac{5}{3^x — 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2 \);
Приведем уравнение к общему знаменателю:
\( 5 \cdot (3^x + 6) + 5 \cdot (3^x — 6) = 2 \cdot (3^{2x} — 36) \).
Раскроем скобки:
\( 5 \cdot 3^x + 30 + 5 \cdot 3^x — 30 = 2 \cdot 3^{2x} — 72 \).
Объединим подобные члены:
\( 2 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x — 72 = 0 \).
Введем замену \( t = 3^x \), тогда \( t > 0 \). Уравнение примет вид:
\( t^2 — 5t — 36 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \).
Корни квадратного уравнения:
\( t_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 13}{2} = -4 \),
\( t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = 9 \).
Возвращаемся к замене:
\( 3^x = t \), тогда:
\( 3^x = -4 \quad \Rightarrow \quad x_1 \notin \mathbb{R} \),
\( 3^x = 9 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2 \).
Ответ: \(2\).