ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x — 3^{x-1} + 3^{x-2}
\)

2)
\(
3^{x^2+2} — 5^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}
\)

3)
\(
7^x — 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} — 118 \cdot 5^{x-1}
\)

1) \( 2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x — 3^{x-1} + 3^{x-2} \);
\( 2^x + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^{-2} = 3^x — 3^x \cdot 3^{-1} + 3^x \cdot 3^{-2} \);
\( 2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 3^x \cdot \left(1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) \);
\( 2^x \cdot \frac{7}{4} = 3^x \cdot \frac{7}{9} \);
\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4} \);
\( x = 2 \);
Ответ: \( 2 \).

2) \( 3x^2 + 2 — 5x^{2-1} = 5x^{2+1} + 3x^{2-1} \);
\( 3x^2 \cdot 3^2 — 3x^2 \cdot 3^{-1} = 5x^2 \cdot 5 + 5x^2 \cdot 5^{-1} \);
\( 3x^2 \cdot \left(9 — \frac{1}{3}\right) = 5x^2 \cdot \left(5 + \frac{1}{5}\right) \).
3x² \(\cdot\) \(\frac{26}{3}\) = 5x² \(\cdot\) \(\frac{26}{5}\);
\(\left(\frac{3}{5}\right)^{x²} = \frac{3}{5}\);
\(x² = 1;\)
\(x = \pm 1;\)
Ответ: \(-1; 1.\)

3) \(7^x — 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} — 118 \cdot 5^{x-1};\)
\(7^x — 2 \cdot 7^x \cdot 7^{-1} = 5^x \cdot 5^2 — 118 \cdot 5^x \cdot 5^{-1};\)
\(7^x \cdot \left(1 — \frac{2}{7}\right) = 5^x \cdot \left(25 — \frac{118}{5}\right);\)
\(7^x \cdot \frac{5}{7} = 5^x \cdot \frac{7}{5};\)
\(\left(\frac{7}{5}\right)^x = \frac{49}{25};\)
\(\left(\frac{7}{5}\right)^x = \left(\frac{7}{5}\right)^2;\)
\(x = 2;\)
Ответ: \(2.\)

1) \( 2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x — 3^{x-1} + 3^{x-2} \)
Преобразуем выражение, используя свойство степеней \( a^{x-y} = a^x \cdot a^{-y} \):
\( 2^x + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^{-2} = 3^x — 3^x \cdot 3^{-1} + 3^x \cdot 3^{-2} \)

Вынесем \( 2^x \) и \( 3^x \) за скобки:
\( 2^x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 3^x \cdot \left(1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) \)

Посчитаем значения выражений в скобках:
\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \)
\( 1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} — \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9} \)

Получаем:
\( 2^x \cdot \frac{7}{4} = 3^x \cdot \frac{7}{9} \)

Упростим, разделив обе части на \( \frac{7}{4} \):
\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4} \)

Возьмем логарифм обеих частей, чтобы найти \( x \):
\( x = \log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{4} \)

Рассчитаем значение \( x \):
\( x = 2 \)

Ответ: \( x = 2 \).

2) \( 3x^2 + 2 — 5x^{2-1} = 5x^{2+1} + 3x^{2-1} \)
Используем свойства степеней для упрощения:
\( 3x^2 \cdot 3^2 — 3x^2 \cdot 3^{-1} = 5x^2 \cdot 5 + 5x^2 \cdot 5^{-1} \)

Вынесем множители за скобки:
\( 3x^2 \cdot \left(9 — \frac{1}{3}\right) = 5x^2 \cdot \left(5 + \frac{1}{5}\right) \)

Посчитаем значения выражений в скобках:
\( 9 — \frac{1}{3} = \frac{27}{3} — \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \)
\( 5 + \frac{1}{5} = \frac{25}{5} + \frac{1}{5} = \frac{26}{5} \)

Получаем:
\( 3x^2 \cdot \frac{26}{3} = 5x^2 \cdot \frac{26}{5} \)

Упростим, разделив обе части на \( 26 \):
\( \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2} = \frac{3}{5} \)

Возьмем логарифм обеих частей:
\( x^2 = 1 \)

Найдем \( x \):
\( x = \pm 1 \)

Ответ: \( x = -1; 1 \).

3) \( 7^x — 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} — 118 \cdot 5^{x-1} \)
Используем свойства степеней для упрощения:
\( 7^x — 2 \cdot 7^x \cdot 7^{-1} = 5^x \cdot 5^2 — 118 \cdot 5^x \cdot 5^{-1} \)

Вынесем \( 7^x \) и \( 5^x \) за скобки:
\( 7^x \cdot \left(1 — \frac{2}{7}\right) = 5^x \cdot \left(25 — \frac{118}{5}\right) \)

Посчитаем значения выражений в скобках:
\( 1 — \frac{2}{7} = \frac{7}{7} — \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
\( 25 — \frac{118}{5} = \frac{125}{5} — \frac{118}{5} = \frac{7}{5} \)

Получаем:
\( 7^x \cdot \frac{5}{7} = 5^x \cdot \frac{7}{5} \)

Упростим:
\( \left(\frac{7}{5}\right)^x = \frac{49}{25} \)

Возьмем логарифм обеих частей:
\( x = \log_{\frac{7}{5}} \frac{49}{25} \)

Рассчитаем значение \( x \):
\( x = 2 \)

Ответ: \( x = 2 \).