ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
6^x + 6^{x-1} — 6^{x-2} = 7^x — 8 \cdot 7^{x-2}
\)

2)
\(
5^x — 2 \cdot 5^{x-1} = 3^{x+1} — 2 \cdot 3^{x-2}
\)

3)
\(
2^{vx+1} — 3^{vx} = 3^{vx-1} — 2^{vx}
\)

1) \( 6^x + 6^{x-1} — 6^{x-2} = 7^x — 8 \cdot 7^{x-2} \);
\( 6^x + 6^x \cdot 6^{-1} — 6^x \cdot 6^{-2} = 7^x — 8 \cdot 7^x \cdot 7^{-2} \);
\( 6^x \cdot \left(1 + \frac{1}{6} — \frac{1}{36}\right) = 7^x \cdot \left(1 — \frac{8}{49}\right) \);
\( 6^x \cdot \frac{41}{36} = 7^x \cdot \frac{41}{49} \);
\( \left(\frac{6}{7}\right)^x = \frac{36}{49} \);
\( \left(\frac{6}{7}\right)^x = \left(\frac{6}{7}\right)^2 \);
\( x = 2 \);
Ответ: \( x = 2 \).

2) \( 5^x + 25x^{-1} = 3^{x+1} — 2 \cdot 3^{x-2} \);
\( 5^x \cdot 5^{-2} + 5^x \cdot 5^{-1} = 3^x \cdot 3^2 — 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} \);
\( 5^x \cdot \left(\frac{1}{25} + \frac{1}{5}\right) = 3^x \cdot \left(9 — \frac{2}{9}\right) \).
\( 5^x \cdot \frac{3}{5} = 3^x \cdot \frac{25}{9} \);
\( \left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{125}{27} \);
\( \left(\frac{5}{3}\right)^x = \left(\frac{5}{3}\right)^3 \);
\( x = 3 \);
Ответ: \( x = 3 \).

3) \( 2\sqrt{x+1} — 3\sqrt{x} = 3\sqrt{x-1} — 2\sqrt{x} \);
\( 2\sqrt{x} \cdot 2 + 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 3\sqrt{x} \cdot 3^{-1} \);
\( 2\sqrt{x} \cdot (2 + 1) = 3\sqrt{x} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \);
\( 2\sqrt{x} \cdot 3 = 3\sqrt{x} \cdot \frac{4}{3} \);
\( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{x}} = \frac{4}{9} \);
\( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{x}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \);
\( \sqrt{x} = 2 \);
\( x = 4 \);
Ответ: \( x = 4 \).

1) Уравнение: \( 6^x + 6^{x-1} — 6^{x-2} = 7^x — 8 \cdot 7^{x-2} \)

Расписываем \( 6^{x-1} \) как \( 6^x \cdot 6^{-1} \), а \( 6^{x-2} \) как \( 6^x \cdot 6^{-2} \). Аналогично, \( 7^{x-2} \) записываем как \( 7^x \cdot 7^{-2} \). Получаем:

\(
6^x + 6^x \cdot 6^{-1} — 6^x \cdot 6^{-2} = 7^x — 8 \cdot 7^x \cdot 7^{-2}
\)

Вынесем \( 6^x \) и \( 7^x \) за скобки:

\(
6^x \cdot (1 + \frac{1}{6} — \frac{1}{36}) = 7^x \cdot (1 — \frac{8}{49})
\)

Считаем значения в скобках:

\(
1 + \frac{1}{6} — \frac{1}{36} = \frac{36}{36} + \frac{6}{36} — \frac{1}{36} = \frac{41}{36}
\)

\(
1 — \frac{8}{49} = \frac{49}{49} — \frac{8}{49} = \frac{41}{49}
\)

Получаем:

\(
6^x \cdot \frac{41}{36} = 7^x \cdot \frac{41}{49}
\)

Сокращаем коэффициенты \( \frac{41}{36} \) и \( \frac{41}{49} \):

\(
\left(\frac{6}{7}\right)^x = \frac{36}{49}
\)

Записываем \( \frac{36}{49} \) как \( \left(\frac{6}{7}\right)^2 \):

\(
\left(\frac{6}{7}\right)^x = \left(\frac{6}{7}\right)^2
\)

Так как основания одинаковые, получаем:

\(
x = 2
\)

Ответ: \( x = 2 \).

2) Уравнение: \( 5^x + 25x^{-1} = 3^{x+1} — 2 \cdot 3^{x-2} \)

Расписываем \( 25x^{-1} \) как \( 5^x \cdot 5^{-2} \), а \( 3^{x+1} \) как \( 3^x \cdot 3^1 \), \( 3^{x-2} \) как \( 3^x \cdot 3^{-2} \). Получаем:

\(
5^x \cdot 5^{-2} + 5^x \cdot 5^{-1} = 3^x \cdot 3^2 — 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-2}
\)

Вынесем \( 5^x \) и \( 3^x \) за скобки:

\(
5^x \cdot (\frac{1}{25} + \frac{1}{5}) = 3^x \cdot (9 — \frac{2}{9})
\)

Считаем значения в скобках:

\(
\frac{1}{25} + \frac{1}{5} = \frac{1}{25} + \frac{5}{25} = \frac{6}{25}
\)

\(
9 — \frac{2}{9} = \frac{81}{9} — \frac{2}{9} = \frac{79}{9}
\)

Получаем:

\(
5^x \cdot \frac{6}{25} = 3^x \cdot \frac{79}{9}
\)

Сокращаем коэффициенты \( \frac{6}{25} \) и \( \frac{79}{9} \):

\(
\left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{125}{27}
\)

Записываем \( \frac{125}{27} \) как \( \left(\frac{5}{3}\right)^3 \):

\(
\left(\frac{5}{3}\right)^x = \left(\frac{5}{3}\right)^3
\)

Так как основания одинаковые, получаем:

\(
x = 3
\)

Ответ: \( x = 3 \).

3) Уравнение: \( 2\sqrt{x+1} — 3\sqrt{x} = 3\sqrt{x-1} — 2\sqrt{x} \)

Переносим все выражения с \( \sqrt{x} \) в одну сторону:

\(
2\sqrt{x+1} — 3\sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x-1}
\)

Сгруппируем \( \sqrt{x} \):

\(
2\sqrt{x+1} + 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 3\sqrt{x-1}
\)

Вынесем \( \sqrt{x} \) за скобки:

\(
2\sqrt{x} \cdot (2 + 1) = 3\sqrt{x} \cdot (1 + \frac{1}{3})
\)

Считаем значения в скобках:

\(
2 + 1 = 3
\)

\(
1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
\)

Получаем:

\(
2\sqrt{x} \cdot 3 = 3\sqrt{x} \cdot \frac{4}{3}
\)

Сокращаем коэффициенты \( 3 \) и \( \frac{4}{3} \):

\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{x}} = \frac{4}{9}
\)

Записываем \( \frac{4}{9} \) как \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \):

\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{x}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2
\)

Так как основания одинаковые, получаем:

\(
\sqrt{x} = 2
\)

Возводим в квадрат:

\(
x = 4
\)

Ответ: \( x = 4 \).