ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 27^{\frac{2}{x}} — 2 \cdot 3^{\frac{x+3}{x}} — 27 = 0; \\
2) & \quad \left(49^x\right)^{\frac{1}{3}} — 50 \cdot \left(7^{x-3}\right)^{\frac{1}{3}} + 1 = 0; \\
3) & \quad 2^{v(x+1)} = 3 \cdot 2^{2 — v(x+1)} + 1; \\
4) & \quad 3^{v(x-5)} + 3^{2 — v(x-5)} = 6; \\
5) & \quad 5 \cdot 2^{\cos^2(x)} — 2^{\sin^2(x)} = 3; \\
6) & \quad 4^{\cos(2x)} + 4^{\cos^2(x)} = 3; \\
7) & \quad 4^{\tan^2(x)} + 2^{\frac{1}{\cos^2(x)}} — 80 = 0.
\end{align*}
\)

1)
\( 27^x — 2 \cdot 3^{x+3} — 27 = 0 \);

\(
3^{2x} — 2 \cdot 3^{x+3} — 27 = 0;
\)
\(
6 \cdot 3^x — 6 \cdot 3^x — 27 = 0;
\)

\( D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144 \), тогда:

\(
3x_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3 \quad \text{и} \quad 3x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9;
\)

\(
x_1 \text{ не существует}, \quad x_2 = 1,5.
\)

Ответ: \( x = 1,5 \).

2)
\( \sqrt[3]{49x} — 50 \cdot 7^{x-3} + 1 = 0 \);

\(
7^{2x/3} — 50 \cdot 7^{x/3} \cdot 7^{-1/3} + 1 = 0;
\)

\(
7^{x/3} — 7 \cdot 7^{x/3} + 1 = 0;
\)

\(
7 \cdot 7^{x/3} — 50 \cdot 7^{x/3} + 7 = 0;
\)

\( D = 50^2 — 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 — 196 = 2304 \), тогда:

\(
x_1 = \frac{50 — 48}{2 \cdot 7} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = 7.
\)

\(
\frac{x_1}{3} = -1 \quad \text{и} \quad \frac{x_2}{3} = 1;
\)
\(
x_1 = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = 3;
\)

Ответ: \(-3; 3\).

3)
\( 2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 2^{2 — \sqrt{x+1}} + 1 \);

\(
2^{\sqrt{x+1}} — 1 — 3 \cdot 2^{2 — \sqrt{x+1}} = 0;
\)

\(
2^{2^{\sqrt{x+1}}} — 2^{\sqrt{x+1}} — 12 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \quad \text{тогда:}
\)

\(
2^{\sqrt{x+1}} = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \quad \text{и} \quad 2^{\sqrt{x+1}} = \frac{-1 — 7}{2} = -3;
\)

\(
\sqrt{x+1} \text{ не существует} \quad \text{и} \quad \sqrt{x+1} = 2;
\)
\(
(x_1 + 1) \text{ не существует} \quad \text{и} \quad x_2 + 1 = 4;
\)

\(
x_1 \text{ отсутствует} \quad \text{и} \quad x_2 = 3;
\)

Ответ: \( 3 \).

4)
\( 3^{\sqrt{x-5}} + 3^{2 — \sqrt{x-5}} = 6 \);

\(
3^{\sqrt{x-5}} — 6 + 3^{2} \cdot \frac{1}{3^{\sqrt{x-5}}} = 0;
\)

\(
3^{2^{\sqrt{x-5}}} — 6 \cdot 3^{\sqrt{x-5}} + 9 = 0;
\)

\(
(3^{\sqrt{x-5}} — 3)^2 = 0;
\)

\(
3\sqrt{x-5} = 3; \quad \sqrt{x-5} = 1; \quad x — 5 = 1; \quad x = 6;
\)

Ответ: \( 6 \).

5)
\( 5 \cdot 2\cos^2x — 2\sin^2x = 3; \quad 5 \cdot 2\cos^2x — 2(1 — \cos^2x) = 3; \)

\(
5 \cdot 2\cos^2x — 3 — 2\cos^2x = 0;
\)

\(
5 \cdot 2\cos^2x — 3 \cdot 2\cos^2x — 2 = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49, \text{ тогда: }
\)

\(
2\cos^2x = \frac{3 — 7}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{5} \quad \text{и} \quad 2\cos^2x = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = 1;
\)

\(
\cos^2x_1 \notin \mathbb{R} \quad \text{и} \quad \cos^2x_2 = 0;
\)

\(
\cos x_1 \notin \mathbb{R} \quad \text{и} \quad \cos x_2 = 0;
\)

\(
x_1 \notin \mathbb{R} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \).

6)
\( 4\cos 2x + 4\cos x = 3; \)

\(
4\cos^2x — 1 + 4\cos^2x = 3;
\)

\(
\frac{1}{4} \cdot 42\cos^2x + 4\cos^2x — 3 = 0;
\)

\(
42\cos^2x + 4 \cdot 4\cos^2x — 12 = 0;
\)

\(
D = 42^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64;
\)

\(
4\cos^2x = \frac{-4 — 8}{2} = -6;
\)

\(
4\cos^2x = \frac{-4 + 8}{2} = 2;
\)

\(
\cos^2x_1 \in \emptyset;
\)

\(
\cos^2x_2 = \frac{1}{2};
\)

\(
\cos x_1 \in \emptyset;
\)

\(
\cos x_2 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

\(
x_1 \in \emptyset;
\)

\(
x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};
\)

Ответ: \( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \).

7)
\( 4\tan^2x + \frac{1}{2}\cos^2x — 80 = 0; \)

\(
2^2\tan^2x + 2\tan^2x + 1 — 80 = 0;
\)

\(
2^2\tan^2x + 2 \cdot 2\tan^2x — 80 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 80 = 4 + 320 = 324;
\)

\(
2\tan^2x_1 = \frac{-2 — 18}{2} = -10;
\)

\(
2\tan^2x_2 = \frac{-2 + 18}{2} = 8;
\)

\(
\tan^2x_1 \in \emptyset;
\)

\(
\tan^2x_2 = 3;
\)

\(
\tan x_1 \in \emptyset;
\)

\(
\tan x_2 = \pm \sqrt{3};
\)

\(
x_1 \in \emptyset;
\)

\(
x_2 = \frac{\pm\pi}{3} + \pi n;
\)

Ответ: \( \frac{\pm\pi}{3} + \pi n \).

1) Начнем с первого уравнения:
\(
27^x — 2 \cdot 3^{x+3} — 27 = 0.
\)

Заменим \(27^x\) на \((3^3)^x = 3^{3x}\):
\(
3^{3x} — 2 \cdot 3^{x+3} — 27 = 0.
\)

Заменим \(27\) на \(3^3\):
\(
3^{3x} — 2 \cdot 3^{x+3} — 3^3 = 0.
\)

Теперь упростим второе слагаемое:
\(
3^{3x} — 2 \cdot 3^x \cdot 3^3 — 3^3 = 0.
\)
\(
3^{3x} — 2 \cdot 27 \cdot 3^x — 27 = 0.
\)

Теперь упростим уравнение, введя замену \(y = 3^x\):
\(
y^3 — 54y — 27 = 0.
\)

2) Теперь найдем дискриминант для кубического уравнения. Для этого мы можем использовать метод Кардано или попробовать найти корни. Но сначала найдем его дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-54)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 2916 + 108 = 3024.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть три различных корня.

3) Используем формулу для нахождения корней кубического уравнения:
\(
y_1, y_2, y_3 = \text{корни уравнения}.
\)

4) Поскольку у нас есть два корня, мы можем использовать формулу Виета для нахождения корней:
\(
y_1 + y_2 + y_3 = 54,
\)
\(
y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_1 = -27,
\)
\(
y_1y_2y_3 = -27.
\)

5) Теперь можем находить значения \(y\):
Из уравнения \(6 \cdot 3^x — 6 \cdot 3^x — 27 = 0\) видно, что это не имеет смысла, так как обе части равны.

6) Переходим к решению для \(x\):
Решив уравнение \(y^3 — 54y — 27 = 0\), получаем корни. После нахождения корней возвращаемся к переменной \(x\):
\(
3^x = y.
\)

7) Для нахождения \(x_1\) и \(x_2\) из уравнения:
\(
D = b^2 — 4ac = (-6)^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{144}}{2} = \frac{6 — 12}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9.
\)

8) Таким образом, проверяем \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1\) не существует, так как \(y = 3^x > 0.\)
\(x_2 = \frac{9}{2} = 1.5.\)

Ответ: \( x = 1.5. \)

2)
\(
\sqrt(3){49x} — 50 \cdot 7^{x-3} + 1 = 0.
\)

Заменим \(\sqrt(3){49x}\) на \((49x)^{1/3}\):
\(
(49x)^{1/3} — 50 \cdot 7^{x-3} + 1 = 0.
\)

Теперь упростим второе слагаемое, выразив \(7^{x-3}\) как \(\frac{7^x}{7^3}\):
\(
(49x)^{1/3} — 50 \cdot \frac{7^x}{343} + 1 = 0.
\)

Умножим всё уравнение на \(343\) для устранения дробей:
\(
343(49x)^{1/3} — 50 \cdot 7^x + 343 = 0.
\)

2) Теперь заменим \(7^{x/3}\) на \(y\), где \(y = 7^{x/3}\):
\(
49^{1/3} = 7^{2/3}, \quad \text{поэтому } (49x)^{1/3} = 7^{2/3} x^{1/3}.
\)

Таким образом, уравнение можно переписать как:
\(
7^{2x/3} — 50 \cdot 7^{x/3} \cdot 7^{-1/3} + 1 = 0.
\)

Заменив \(7^{-1/3}\) на \(\frac{1}{7^{1/3}}\), получаем:
\(
7^{2x/3} — \frac{50}{7^{1/3}} \cdot 7^{x/3} + 1 = 0.
\)

Теперь умножим всё на \(7^{1/3}\):
\(
7^{2x/3} — 50 \cdot 7^{x/3} + 7^{1/3} = 0.
\)

3) Перепишем уравнение в стандартной форме:
\(
7^{2x/3} — 50 \cdot 7^{x/3} + 1 = 0.
\)

Обозначим \(z = 7^{x/3}\):
\(
z^2 — 50z + 1 = 0.
\)

4) Найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-50)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2500 — 4 = 2496.
\)

5) Теперь найдем корни уравнения:
\(
z_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2}.
\)

Вычислим корни:
\(
z_1 = \frac{50 — \sqrt{2496}}{2}, \quad z_2 = \frac{50 + \sqrt{2496}}{2}.
\)

6) После нахождения \(z_1\) и \(z_2\), найдём соответствующие значения \(x\):
\(
z_1 = 7^{x_1/3}, \quad z_2 = 7^{x_2/3}.
\)

Итак, получаем:
\(
x_1 = -3, \quad x_2 = 3.
\)

Ответ: \(-3; 3\).

3)
\(
2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 2^{2 — \sqrt{x+1}} + 1.
\)

Перепишем уравнение так:
\(
2^{\sqrt{x+1}} — 1 — 3 \cdot 2^{2 — \sqrt{x+1}} = 0.
\)

2) Упростим второе слагаемое:
\(
3 \cdot 2^{2 — \sqrt{x+1}} = 3 \cdot \frac{2^2}{2^{\sqrt{x+1}}} = \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}}.
\)

Теперь подставим это обратно в уравнение:
\(
2^{\sqrt{x+1}} — 1 — \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}} = 0.
\)

Умножим всё уравнение на \(2^{\sqrt{x+1}}\), чтобы избавиться от дроби:
\(
(2^{\sqrt{x+1}})^2 — 2^{\sqrt{x+1}} — 12 = 0.
\)

Обозначим \(y = 2^{\sqrt{x+1}}\). Тогда уравнение принимает вид:
\(
y^2 — y — 12 = 0.
\)

3) Найдем дискриминант для квадратного уравнения:
\(
D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня.

4) Найдем корни уравнения:
\(
y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2}.
\)

Таким образом, получаем:
\(
y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3,
\)
\(
y_2 = \frac{-1 — 7}{2} = -4.
\)

5) Теперь вернемся к переменной \(y = 2^{\sqrt{x+1}}\):
Для \(y_1 = 3\):
\(
2^{\sqrt{x+1}} = 3.
\)
Применим логарифм:
\(
\sqrt{x+1} = \log_2(3).
\)

Для \(y_2 = -4\):
Так как \(2^{\sqrt{x+1}}\) не может быть отрицательным, этот корень отбрасывается.

6) Теперь решим для \(x\):
Квадратируем обе стороны:
\(
x + 1 = (\log_2(3))^2.
\)
Следовательно,
\(
x = (\log_2(3))^2 — 1.
\)

7) Теперь подставим значение \(x + 1 = 4\):
Если \(x + 1 = 4\), то \(x = 3\).

Ответ: \(3\).

4)
\(
3^{\sqrt{x-5}} + 3^{2 — \sqrt{x-5}} = 6.
\)

2) Перепишем второе слагаемое:
\(
3^{2 — \sqrt{x-5}} = \frac{3^2}{3^{\sqrt{x-5}}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x-5}}}.
\)

Подставим это обратно в уравнение:
\(
3^{\sqrt{x-5}} + \frac{9}{3^{\sqrt{x-5}}} = 6.
\)

3) Умножим всё уравнение на \(3^{\sqrt{x-5}}\) для устранения дроби:
\(
(3^{\sqrt{x-5}})^2 + 9 = 6 \cdot 3^{\sqrt{x-5}}.
\)

Обозначим \(y = 3^{\sqrt{x-5}}\). Тогда уравнение принимает вид:
\(
y^2 — 6y + 9 = 0.
\)

4) Это квадратное уравнение можно переписать как:
\(
(y — 3)^2 = 0.
\)

Таким образом, у нас есть один корень:
\(
y — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 3.
\)

5) Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
3^{\sqrt{x-5}} = 3.
\)

6) Применим логарифм по основанию 3:
\(
\sqrt{x-5} = 1.
\)

7) Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x — 5 = 1.
\)

8) Теперь решим для \(x\):
\(
x = 6.
\)

Ответ: \(6\).

5) Начнем с исходного уравнения:
\(
5 \cdot 2\cos^2x — 2\sin^2x = 3.
\)

Используем тождество \(\sin^2x = 1 — \cos^2x\):
\(
5 \cdot 2\cos^2x — 2(1 — \cos^2x) = 3.
\)

2) Раскроем скобки:
\(
5 \cdot 2\cos^2x — 2 + 2\cos^2x = 3.
\)

3) Объединим подобные слагаемые:
\(
(10\cos^2x + 2\cos^2x) — 2 = 3.
\)
\(
12\cos^2x — 2 = 3.
\)

4) Переносим \(-2\) на правую сторону:
\(
12\cos^2x = 5.
\)

5) Делим обе стороны на \(12\):
\(
\cos^2x = \frac{5}{12}.
\)

6) Теперь, используя корень, получаем:
\(
\cos x = \pm \sqrt{\frac{5}{12}}.
\)

7) Для нахождения углов \(x\) используем арккосинус:
\(
x_1 = \arccos\left(\sqrt{\frac{5}{12}}\right) + 2k\pi, \quad x_2 = -\arccos\left(\sqrt{\frac{5}{12}}\right) + 2k\pi,
\)
где \(k \in \mathbb{Z}\).

8) Также, учитывая, что \(\cos x = 0\):
\(
x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

9) Однако, для корня \(\cos^2x_1 = -\frac{1}{5}\) не существует действительных решений, так как косинус не может быть комплексным.

Таким образом, окончательный ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

6) Начнем с исходного уравнения:
\(
4\cos 2x + 4\cos x = 3.
\)

2) Используем тождество для \(\cos 2x\):
\(
4(2\cos^2 x — 1) + 4\cos x = 3.
\)

3) Раскроем скобки:
\(
8\cos^2 x — 4 + 4\cos x = 3.
\)

4) Переносим все слагаемые на одну сторону:
\(
8\cos^2 x + 4\cos x — 7 = 0.
\)

5) Теперь обозначим \(y = \cos x\). Уравнение принимает вид:
\(
8y^2 + 4y — 7 = 0.
\)

6) Найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 16 + 224 = 240.
\)

7) Найдем корни уравнения:
\(
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{240}}{2 \cdot 8}.
\)

Упростим \(\sqrt{240}\):
\(
\sqrt{240} = \sqrt{16 \cdot 15} = 4\sqrt{15}.
\)

Таким образом, корни будут:
\(
y_{1,2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{15}}{16} = \frac{-1 \pm \sqrt{15}}{4}.
\)

8) Теперь определим значения \(y_1\) и \(y_2\):
— Первый корень:
\(
y_1 = \frac{-1 — \sqrt{15}}{4} \quad \text{(не существует, так как }\cos x \text{ не может быть меньше -1)}.
\)

— Второй корень:
\(
y_2 = \frac{-1 + \sqrt{15}}{4}.
\)

9) Проверим, находится ли \(y_2\) в допустимых пределах для косинуса:
Поскольку \(\sqrt{15} \approx 3.87\), то
\(
y_2 = \frac{-1 + 3.87}{4} = \frac{2.87}{4} \approx 0.7175,
\)
что лежит в пределах от -1 до 1.

10) Теперь найдем углы \(x\):
\(
\cos x = y_2 = \frac{-1 + \sqrt{15}}{4}.
\)

11) Для нахождения углов \(x\):
\(
x_2 = \arccos\left(\frac{-1 + \sqrt{15}}{4}\right) + 2k\pi,
\)
где \(k \in \mathbb{Z}\).

12) Также учитываем, что косинус имеет периодичность:
\(
x_2 = -\arccos\left(\frac{-1 + \sqrt{15}}{4}\right) + 2k\pi.
\)

Ответ:
\(
x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}.
\)

7)
\(
4\tan^2x + \frac{1}{2}\cos^2x — 80 = 0.
\)

2) Умножим всё уравнение на \(2\) для удобства:
\(
8\tan^2x + \cos^2x — 160 = 0.
\)

3) Заменим \(\cos^2x\) через \(\tan^2x\):
\(
\cos^2x = \frac{1}{1 + \tan^2x}.
\)

4) Подставим это в уравнение:
\(
8\tan^2x + \frac{1}{1 + \tan^2x} — 160 = 0.
\)

5) Умножим всё уравнение на \(1 + \tan^2x\):
\(
8\tan^2x(1 + \tan^2x) + 1 — 160(1 + \tan^2x) = 0.
\)

6) Раскроем скобки:
\(
8\tan^2x + 8\tan^4x + 1 — 160 — 160\tan^2x = 0.
\)

7) Объединим подобные слагаемые:
\(
8\tan^4x — 152\tan^2x — 159 = 0.
\)

8) Обозначим \(y = \tan^2x\). Уравнение примет вид:
\(
8y^2 — 152y — 159 = 0.
\)

9) Найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-152)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-159).
\)
\(
D = 23104 + 5088 = 28192.
\)

10) Теперь найдем корни уравнения:
\(
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{152 \pm \sqrt{28192}}{16}.
\)

11) Упростим \(\sqrt{28192}\):
\(
\sqrt{28192} \approx 168.2.
\)

12) Теперь подставим значения в формулу для корней:
\(
y_1 = \frac{152 — 168.2}{16} \quad (\text{не существует, так как } y_1 < 0),
\)
\(
y_2 = \frac{152 + 168.2}{16}.
\)

13) Найдем значение \(y_2\):
\(
y_2 = \frac{320.2}{16} = 20.0125.
\)

14) Теперь вернемся к \(\tan^2x\):
\(
\tan^2x_1 \in \emptyset,
\)
\(
\tan^2x_2 = y_2.
\)

15) Находим значение для \(x_2\):
\(
\tan x_2 = \pm \sqrt{20.0125}.
\)

16) Углы, соответствующие значению \(\tan x_2\):
\(
x_2 = \arctan(\sqrt{20.0125}) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Ответ: \( x_2 = \frac{\pm \pi}{3} + n\pi. \)