ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 8^{\frac{2}{x}} — 2^{\frac{2x+3}{x}} — 32 = 0; \\
2) & \quad 5^{v(x-2)} — 5^{1-v(x-2)} — 4 = 0; \\
3) & \quad 2^{\cos(2x)} — 3 \cdot 2^{\cos^2(x)} + 4 = 0.
\end{align*}
\)

1)
\(
8^x — 2^{2x+3} — 32 = 0;
\)
\(
2^{3x} — 2^{2x} \cdot 2^3 — 32 = 0;
\)
\(
2^{6x} — 4 \cdot 2^{3x} — 32 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-4 — \sqrt{144}}{4} = -8, \quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{4} = 1.
\)

Область допустимых значений:
\(
x_1 \notin \Phi \quad \text{и} \quad x_2 = 1.
\)

Ответ:
\(
x = 1.
\)

2)
\(
5\sqrt{x-2} — 5\frac{1}{\sqrt{x-2}} — 4 = 0;
\)
\(
5\sqrt{x-2} — 5\frac{1}{\sqrt{x-2}} — 4 = 0;
\)
\(
5\sqrt{x-2} — 4 \cdot 5\sqrt{x-2} — 5 = 0.
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,
\)
тогда:
\(
5\sqrt{x-2}_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad 5\sqrt{x-2}_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)
\(
\sqrt{x_1 — 2} \notin \Phi, \quad \sqrt{x_2 — 2} = 1;
\)
\(
x_1 — 2 \notin \Phi, \quad x_2 — 2 = 1;
\)
\(
x_1 \notin \Phi, \quad x_2 = 3.
\)

Ответ:
\(
x = 3.
\)

3)
\(
2\cos^2(2x) — 3 \cdot 2\cos^2(x) + 4 = 0;
\)
\(
2^{2\cos^2(x)-1} — 3 \cdot 2\cos^2(x) + 4 = 0;
\)
\(
\frac{1}{2} \cdot 2^{2\cos^2(x)} — 3 \cdot 2\cos^2(x) + 4 = 0;
\)
\(
2^{2\cos^2(x)} — 6 \cdot 2\cos^2(x) + 8 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,
\)
тогда:
\(
2\cos^2(x)_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad 2\cos^2(x)_2 = 4.
\)

Рассмотрим значения:
\(
\cos(x) = \pm 1, \quad \cos^2(x) = 2;
\)
\(
\cos(x) = \pm 1, \quad \cos(x) = \pm \sqrt{2};
\)
\(
x = \pi n, \quad x \notin \Phi.
\)

Ответ:
\(
x = \pi n.
\)

1)
Рассмотрим уравнение:
\(8^x — 2^{2x+3} — 32 = 0\).

Представим \(8^x\) как \(2^{3x}\), тогда:
\(2^{3x} — 2^{2x} \cdot 2^3 — 32 = 0\).

Упростим выражение:
\(2^{3x} — 4 \cdot 2^{2x} — 32 = 0\).

Введем замену \(t = 2^x\), тогда \(2^{3x} = t^3\), \(2^{2x} = t^2\), и уравнение принимает вид:
\(t^3 — 4t^2 — 32 = 0\).

Решим кубическое уравнение. Найдем дискриминант:
\(D = (-4)^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144\).

Корни уравнения:
\(t_1 = \frac{-4 — \sqrt{144}}{2} = -8, \quad t_2 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2} = 1\).

Обратимся к области допустимых значений. Поскольку \(t = 2^x > 0\), то только \(t_2 = 1\) удовлетворяет условию.

Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(2^x = 1 \Rightarrow x = 1\).

Ответ:
\(x = 1\).

2)
Рассмотрим уравнение:
\(5\sqrt{x-2} — 5\frac{1}{\sqrt{x-2}} — 4 = 0\).

Введем замену \(t = \sqrt{x-2}\), тогда \(\frac{1}{\sqrt{x-2}} = \frac{1}{t}\), и уравнение принимает вид:
\(5t — \frac{5}{t} — 4 = 0\).

Умножим обе части уравнения на \(t\) (при \(t \neq 0\)):
\(5t^2 — 5 — 4t = 0\).

Приведем уравнение к стандартному виду:
\(5t^2 — 4t — 5 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 16 + 100 = 36\).

Корни уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 — 6}{10} = -\frac{1}{5}, \quad t_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = 1\).

Вернемся к переменной \(t = \sqrt{x-2}\). Поскольку \(\sqrt{x-2} \geq 0\), только \(t_2 = 1\) удовлетворяет условию.

Теперь найдем \(x\):
\(\sqrt{x-2} = 1 \Rightarrow x-2 = 1 \Rightarrow x = 3\).

Ответ:
\(x = 3\).

3)
Рассмотрим уравнение:
\(2\cos^2(2x) — 3 \cdot 2\cos^2(x) + 4 = 0\).

Введем замену \(t = \cos^2(x)\), тогда \(\cos^2(2x) = 2t^2 — t\), и уравнение принимает вид:
\(2(2t^2 — t) — 3 \cdot 2t + 4 = 0\).

Раскроем скобки:
\(4t^2 — 2t — 6t + 4 = 0\).

Приведем уравнение к стандартному виду:
\(4t^2 — 8t + 4 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 — 64 = 0\).

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:
\(t = \frac{-(-8)}{2 \cdot 4} = 1\).

Вернемся к переменной \(\cos^2(x)\):
\(\cos^2(x) = 1 \Rightarrow \cos(x) = \pm 1\).

Найдем \(x\):
\(\cos(x) = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, \quad \cos(x) = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}\).

Ответ:
\(x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}\).