ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 3 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0; \\
2) & \quad 2^{2x+1} — 7 \cdot 10^x + 25^{x+0.5} = 0; \\
3) & \quad 7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x; \\
4) & \quad 9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x.
\end{align*}
\)

1)
Уравнение:
\(
3 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0
\)

Преобразуем:
\(
3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} — 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1
\)

Корни:
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1} = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}, \quad \left(\frac{2}{3}\right)^{x_2} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = 1
\)

Соответствующие значения \(x\):
\(
x_1 = 1, \quad x_2 = 0
\)

Ответ:
\(
x = 0; \, 1
\)

2)
Уравнение:
\(
2^{2x+1} — 7 \cdot 10^x + 25^{x+0.5} = 0
\)

Преобразуем:
\(
2 \cdot 2^{2x} — 7 \cdot 10^x + 5 \cdot 5^{2x} = 0
\)

Подставим:
\(
2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} — 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x + 5 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9
\)

Корни:
\(
\left(\frac{2}{5}\right)^{x_1} = \frac{7 — 3}{2 \cdot 2} = 1, \quad \left(\frac{2}{5}\right)^{x_2} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}
\)

Соответствующие значения \(x\):
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = -1
\)

Ответ:
\(
x = 0; \, -1
\)

3)
Уравнение:
\(
7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x
\)

Преобразуем:
\(
7 \cdot 7^{2x} + 3 \cdot 28^x — 4 \cdot 4^{2x} = 0
\)

Подставим:
\(
7 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x — 4 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 7 \cdot 4 = 9 + 112 = 121
\)

Корни:
\(
\left(\frac{7}{4}\right)^{x_1} = \frac{-3 — 11}{2 \cdot 7} = -1, \quad \left(\frac{7}{4}\right)^{x_2} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{4}{7}
\)

Соответствующие значения \(x\):
\(
x_1 \in \emptyset, \quad x_2 = -1
\)

Ответ:
\(
x = -1
\)

4)
Уравнение:
\(
9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x
\)

Преобразуем:
\(
3^{2x} — 2 \cdot 6^x + 2^{2x} = 0
\)

Подставим:
\(
(3^{2x} — 2^{2x})^2 = 0
\)

Решение:
\(
3^x = 2^x
\)

Соответствующее значение \(x\):
\(
x = 0
\)

Ответ:
\(
x = 0
\)

1)
Уравнение:
\( 3 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0 \)

Преобразуем:
Заметим, что \( 6^x = 2^x \cdot 3^x \). Подставляем это в уравнение:
\( 3 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot (2^x \cdot 3^x) + 2 \cdot 3^{2x} = 0 \).

Разделим обе стороны уравнения на \( 3^{2x} \):
\( \frac{3 \cdot 2^{2x}}{3^{2x}} — \frac{5 \cdot 2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} + \frac{2 \cdot 3^{2x}}{3^{2x}} = 0 \).

Получаем:
\( 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} — 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 = 0 \).

Обозначим \( t = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). Тогда уравнение принимает вид:
\( 3t^2 — 5t + 2 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1 \).

Корни:
\( t_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 1}{6} = \frac{2}{3} \),
\( t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = 1 \).

Возвращаемся к замене:
\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad x = 1 \),
\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \).

Ответ:
\( x = 0; \, x = 1 \).

2)
Уравнение:
\( 2^{2x+1} — 7 \cdot 10^x + 25^{x+0.5} = 0 \).

Преобразуем:
Заметим, что \( 10^x = 2^x \cdot 5^x \), а \( 25^{x+0.5} = 5^{2x} \cdot 5^{0.5} \). Подставляем это в уравнение:
\( 2 \cdot 2^{2x} — 7 \cdot (2^x \cdot 5^x) + 5 \cdot 5^{2x} = 0 \).

Разделим обе стороны уравнения на \( 5^{2x} \):
\( \frac{2 \cdot 2^{2x}}{5^{2x}} — \frac{7 \cdot 2^x \cdot 5^x}{5^{2x}} + \frac{5 \cdot 5^{2x}}{5^{2x}} = 0 \).

Получаем:
\( 2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} — 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x + 5 = 0 \).

Обозначим \( t = \left(\frac{2}{5}\right)^x \). Тогда уравнение принимает вид:
\( 2t^2 — 7t + 5 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант:
\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9 \).

Корни:
\( t_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 3}{4} = 1 \),
\( t_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{5}{2} \).

Возвращаемся к замене:
\( \left(\frac{2}{5}\right)^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \),
\( \left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -1 \).

Ответ:
\( x = 0; \, x = -1 \).

3)
Уравнение:
\( 7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x \).

Преобразуем:
Заметим, что \( 49^x = 7^{2x} \), \( 28^x = 7^x \cdot 4^x \), \( 16^x = 4^{2x} \). Подставляем это в уравнение:
\( 7 \cdot 7^{2x} + 3 \cdot (7^x \cdot 4^x) — 4 \cdot 4^{2x} = 0 \).

Разделим обе стороны уравнения на \( 4^{2x} \):
\( \frac{7 \cdot 7^{2x}}{4^{2x}} + \frac{3 \cdot 7^x \cdot 4^x}{4^{2x}} — \frac{4 \cdot 4^{2x}}{4^{2x}} = 0 \).

Получаем:
\( 7 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x — 4 = 0 \).

Обозначим \( t = \left(\frac{7}{4}\right)^x \). Тогда уравнение принимает вид:
\( 7t^2 + 3t — 4 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант:
\( D = 3^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 \).

Корни:
\( t_1 = \frac{-3 — \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{-3 — 11}{14} = -1 \),
\( t_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{-3 + 11}{14} = \frac{4}{7} \).

Возвращаемся к замене:
\( \left(\frac{7}{4}\right)^x = -1 \quad \Rightarrow \quad x \in \emptyset \),
\( \left(\frac{7}{4}\right)^x = \frac{4}{7} \quad \Rightarrow \quad x = -1 \).

Ответ:
\( x = -1 \).

4)
Уравнение:
\( 9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x \).

Преобразуем:
Заметим, что \( 9^x = 3^{2x} \), \( 4^x = 2^{2x} \), \( 6^x = 2^x \cdot 3^x \). Подставляем это в уравнение:
\( 3^{2x} + 2^{2x} = 2 \cdot (2^x \cdot 3^x) \).

Разделим обе стороны уравнения на \( 3^{2x} \):
\( \frac{3^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^{2x}}{3^{2x}} = \frac{2 \cdot (2^x \cdot 3^x)}{3^{2x}} \).

Получаем:
\( 1 + \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x \).

Обозначим \( t = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). Тогда уравнение принимает вид:
\( 1 + t^2 = 2t \).

Решаем квадратное уравнение:
\( t^2 — 2t + 1 = 0 \).

Корни:
\( t = 1 \).

Возвращаемся к замене:
\( \left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \).

Ответ:
\( x = 0 \).