ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:
\(
1) \quad 4 \cdot 9^x — 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0;
\)
\(
2) \quad 5 \cdot 2^x + 2 \cdot 5^x = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}}.
\)

1) \( 4 \cdot 9^x — 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0 \);
\( 4 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 3 \cdot 4^{2x} = 0 \);
\( 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} — 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 3 = 0 \).

Дискриминант:
\( D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1 \), тогда:
\( \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{7 — 1}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4} \) и
\( \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = 1 \);

\( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 0 \).

Ответ: \( x = 0; \, x = 1 \).

2) \( 5 \cdot 2^x + 2 \cdot 5^x = 7 \cdot 10^x \);
\( 5 \cdot 2^x — 7 \cdot 10^x + 2 \cdot 5^x = 0 \);
\( 5 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x — 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x + 2 = 0 \).

Дискриминант:
\( D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9 \), тогда:
\( \left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{7 — 3}{2 \cdot 5} = \frac{2}{5} \) и
\( \left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = 1 \);

\( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 0 \).

Ответ: \( x = 0; \, x = 1 \).

Решить уравнение:

1) Уравнение:
\( 4 \cdot 9^x — 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0 \).

Преобразуем:
\( 9^x = 3^{2x}, \, 12^x = 3^x \cdot 4^x, \, 16^x = 4^{2x} \).
Подставляем:
\( 4 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 3 \cdot 4^{2x} = 0 \).

Разделим обе стороны уравнения на \( 4^{2x} \):
\( \frac{4 \cdot 3^{2x}}{4^{2x}} — \frac{7 \cdot 3^x \cdot 4^x}{4^{2x}} + \frac{3 \cdot 4^{2x}}{4^{2x}} = 0 \).

Получаем:
\( 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} — 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 3 = 0 \).

Обозначим \( t = \left(\frac{3}{4}\right)^x \). Тогда уравнение принимает вид:
\( 4t^2 — 7t + 3 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант:
\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1 \).

Корни:
\( t_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{7 — 1}{8} = \frac{3}{4} \),
\( t_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 1}{8} = 1 \).

Возвращаемся к замене:
\( \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad x = 1 \),
\( \left(\frac{3}{4}\right)^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \).

Ответ: \( x = 0; x = 1 \).

2) Уравнение:
\( 5 \cdot 2^x + 2 \cdot 5^x = 7 \cdot 10^x \).

Преобразуем:
\( 10^x = 2^x \cdot 5^x \). Подставляем:
\( 5 \cdot 2^x — 7 \cdot (2^x \cdot 5^x) + 2 \cdot 5^x = 0 \).

Разделим обе стороны уравнения на \( 5^{2x} \):
\( \frac{5 \cdot 2^x}{5^{2x}} — \frac{7 \cdot (2^x \cdot 5^x)}{5^{2x}} + \frac{2 \cdot 5^x}{5^{2x}} = 0 \).

Получаем:
\( 5 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x — 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x + 2 = 0 \).

Обозначим \( t = \left(\frac{2}{5}\right)^x \). Тогда уравнение принимает вид:
\( 5t^2 — 7t + 2 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант:
\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 — 40 = 9 \).

Корни:
\( t_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 — 3}{10} = \frac{2}{5} \),
\( t_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 3}{10} = 1 \).

Возвращаемся к замене:
\( \left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{2}{5} \quad \Rightarrow \quad x = 1 \),
\( \left(\frac{2}{5}\right)^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \).

Ответ: \( x = 0; x = 1 \).