ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\sqrt{4^x — 2^x — 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x — 7}
\)

Решить уравнение:

\(
\sqrt{4^x — 2^x — 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x — 7}
\)

Упростим:
\(
4^x — 2^x — 3 = 4 \cdot 2^x — 7
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 4 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\)

Корни:
\(
2^x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad 2^x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\)

Находим \(x\):
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\)

Проверка:
1. Для \(x = 0\):
\(
4^0 — 2^0 — 3 = 1 — 1 — 3 = -3 \quad (\text{не подходит})
\)

2. Для \(x = 2\):
\(
4^2 — 2^2 — 3 = 16 — 4 — 3 = 9
\)
\(
4 \cdot 2^2 — 7 = 4 \cdot 4 — 7 = 16 — 7 = 9
\)

Ответ:
\(
x = 2
\)

\(
\sqrt{4^x — 2^x — 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x — 7}
\)

Рассмотрим область определения данного уравнения. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

\(
4^x — 2^x — 3 \geq 0
\)
и
\(
4 \cdot 2^x — 7 \geq 0
\).

Рассмотрим первое неравенство:
\(
4^x — 2^x — 3 \geq 0
\).
Пусть \(
t = 2^x
\), тогда \(
4^x = t^2
\). Получаем:
\(
t^2 — t — 3 \geq 0
\).

Решим квадратное неравенство:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13
\),
корни:
\(
t_1 = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}, \quad t_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}
\).

Так как \(
t = 2^x > 0
\), то область определения для первого выражения:
\(
t \in \left[\frac{1 + \sqrt{13}}{2}; +\infty\right)
\).

Рассмотрим второе неравенство:
\(
4 \cdot 2^x — 7 \geq 0
\),
или
\(
2^x \geq \frac{7}{4}
\).

Таким образом, область определения уравнения:
\(
2^x \geq \frac{7}{4}
\).

Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:
\(
4^x — 2^x — 3 = 4 \cdot 2^x — 7
\).

Перенесем все в одну сторону:
\(
4^x — 2^x — 3 — 4 \cdot 2^x + 7 = 0
\),
или
\(
4^x — 5 \cdot 2^x + 4 = 0
\).

Пусть \(
t = 2^x
\), тогда \(
4^x = t^2
\). Получаем:
\(
t^2 — 5 \cdot t + 4 = 0
\).

Решим квадратное уравнение:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\),
корни:
\(
t_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\).

Вернемся к переменной \(
x
\):
\(
2^x = 1 — x = 0
\),
\(
2^x = 4 — x = 2
\).

Проверим оба корня на принадлежность области определения.

1. Для \(
x = 0
\):
\(
2^x = 1
\).
Проверим первое подкоренное выражение:
\(
4^0 — 2^0 — 3 = 1 — 1 — 3 = -3
\),
что не удовлетворяет условию области определения.

2. Для \(
x = 2
\):
\(
2^x = 4
\).
Проверим оба подкоренных выражения:
\(
4^2 — 2^2 — 3 = 16 — 4 — 3 = 9 \geq 0
\),
\(
4 \cdot 2^2 — 7 = 4 \cdot 4 — 7 = 16 — 7 = 9 \geq 0
\).

Оба выражения удовлетворяют области определения.

Ответ:
\(
x = 2
\).