ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 0,4^{(x^2 — x — 6)} = 1; \\
2) & \quad \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3}; \\
3) & \quad 0,7^x = 2 \cdot \frac{2}{49}; \\
4) & \quad 9^{-x} = 27; \\
5) & \quad \sqrt{2^x} = 8^{-\frac{2}{3}}; \\
6) & \quad \left(\frac{2}{9}\right)^{(2x + 3)} = 4 \cdot 5^{(x — 2)}; \\
7) & \quad 100^x = 0,01 \cdot v10; \\
8) & \quad \left(\frac{2}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64}; \\
9) & \quad 2^{(x — 1)} \cdot 3^{(x — 1)} = \frac{1}{36} \cdot 6^{(2x + 5)}; \\
10) & \quad 32^{\left(\frac{3}{5} x — 2\right)} = 4^{(6 — \frac{3}{2} x)}; \\
11) & \quad 3^{(x^2 — 9)} = 7^{(x^2 — 9)}; \\
12) & \quad 16^{(5 — 3x)} = 0,125^{(5x — 6)}.
\end{align*}
\)

1) \(0.4^{x^2 — x — 6} = 1;\)
\(
x^2 — x — 6 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда: }
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)
Ответ: \(-2; 3\).

2) \(
\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3};
\)
\(
\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1};
\)
\(
x = -1;
\)
Ответ: \(-1\).

3) \(
0.7^x = \frac{2}{49};
\)
\(
\left(\frac{7}{10}\right)^x = \left(\frac{100}{49}\right);
\)
\(
\left(\frac{7}{10}\right)^x = \left(\frac{7}{10}\right)^{-2};
\)
\(
x = -2;
\)
Ответ: \(-2\).

4) \(
9^{-x} = 27;
\)
\(
3^{2x} = 3^3;
\)
\(
-2x = 3;
\)
\(
x = -1.5;
\)
Ответ: \(-1.5\).

5) \(\sqrt{2^x} = 8^{\frac{2}{3}};\)
\(2^{\frac{x}{2}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})};\)
\(\frac{x}{2} = -2;\)
\(x = -4;\)
Ответ: \(-4\).

6) \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = 4,5^{x-2};\)
\(\left(\frac{2}{9}\right)^{-(2x+3)} = \left(\frac{9}{2}\right)^{x-2};\)
\(-2x — 3 = x — 2;\)
\(3x = -1, \quad x = -\frac{1}{3};\)
Ответ: \(-\frac{1}{3}\).

7) \(100^x = 0,01\sqrt{10};\)
\(10^{2x} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{2}};\)
\(2x = -2 + \frac{1}{2};\)
\(2x = -\frac{3}{2}, \quad x = -\frac{3}{4};\)
Ответ: \(-\frac{3}{4}\).

8) \(\left(\frac{2}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64};\)
\(\left(\frac{5}{4}\right)^x = \left(\frac{5}{4}\right)^3;\)
\(x = 3;\)
Ответ: \(3\).

9) \(2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = \frac{1}{36} \cdot 6^{2x+5};\)
\(6^{x-1} = 6^{-2} \cdot 6^{2x+5};\)
\(x-1 = -2 + (2x+5);\)
\(x-1 = 2x+3;\)
\(x = -4;\)
Ответ: \(-4\).

10) \(325^{x-2} = 4^{6-\frac{3}{2}x};\)
\(25^{\frac{3}{2}(x-2)} = 2^{6-\frac{3}{2}x};\)
\(3x — 10 = 12 — 3x;\)
\(6x = 22, \quad x = \frac{11}{3};\)
Ответ: \(\frac{11}{3}\).

11) \(3x^2 — 9 = 7x^2 — 9;\)
\(x^2 — 9 = 0;\)
\(x^2 = 9, \quad x = \pm 3;\)
Ответ: \(-3; 3.\)

12) \(16^{5-3x} = 0,125^{5x-6};\)
\(2^{4(5-3x)} = \left(\frac{1}{8}\right)^{5x-6};\)
\(2^{4(5-3x)} = 2^{-3(5x-6)};\)
\(20 — 12x = 18 — 15x;\)
\(3x = -2, \quad x = -\frac{2}{3};\)
Ответ: \(-\frac{2}{3}.\)

1) \(0.4^{x^2 — x — 6} = 1\)
Так как \(a^0 = 1\), то:
\((x^2 — x — 6) = 0\).
Рассмотрим квадратное уравнение:
\(x^2 — x — 6 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).
Найдём корни:
\(x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2\),
\(x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3\).
Ответ: \(-2; 3\).

2) \(\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3}\)
Представим правую часть как степень:
\(\frac{5}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\).
Тогда:
\(\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\),
откуда \(x = -1\).
Ответ: \(-1\).

3) \(0.7^x = \frac{2}{49}\)
Представим обе стороны через степень числа \(\frac{7}{10}\):
\(\frac{2}{49} = \left(\frac{7}{10}\right)^{-2}\).
Тогда:
\(\left(\frac{7}{10}\right)^x = \left(\frac{7}{10}\right)^{-2}\),
откуда \(x = -2\).
Ответ: \(-2\).

4) \(9^{-x} = 27\)
Представим обе стороны через степень числа \(3\):
\(9 = 3^2, \quad 27 = 3^3\),
тогда:
\((3^2)^{-x} = 3^3\),
\(3^{-2x} = 3^3\),
откуда \(-2x = 3\),
\(x = -1.5\).
Ответ: \(-1.5\).

5) \(\sqrt{2^x} = 8^{\frac{2}{3}}\)
Представим обе стороны через степень числа \(2\):
\(\sqrt{2^x} = (2^x)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{x}{2}}, \quad 8 = 2^3\),
тогда:
\(2^{\frac{x}{2}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}}\),
\(2^{\frac{x}{2}} = 2^2\),
откуда \(\frac{x}{2} = 2\),
\(x = -4\).
Ответ: \(-4\).

6) \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = 4.5^{x-2}\)
Представим обе стороны через степень числа \(\frac{2}{9}\):
\(4.5 = \frac{9}{2}, \quad \left(\frac{9}{2}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-(x-2)}\),
тогда:
\(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-(x-2)}\),
откуда \(2x + 3 = -(x — 2)\),
\(2x + 3 = -x + 2\),
\(3x = -1\),
\(x = -\frac{1}{3}\).
Ответ: \(-\frac{1}{3}\).

7) \(100^x = 0.01\sqrt{10}\)
Представим обе стороны через степень числа \(10\):
\(100 = 10^2, \quad 0.01 = 10^{-2}, \quad \sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}\),
тогда:
\(10^{2x} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{2}}\),
\(10^{2x} = 10^{-2 + \frac{1}{2}}\),
\(10^{2x} = 10^{-\frac{3}{2}}\),
откуда \(2x = -\frac{3}{2}\),
\(x = -\frac{3}{4}\).
Ответ: \(-\frac{3}{4}\).

8) \(\left(\frac{2}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64}\)
Объединим степени:
\(\left(\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64}\),
\(\left(\frac{5}{4}\right)^x = \frac{125}{64}\),
представим правую часть как степень числа \(\frac{5}{4}\):
\(\frac{125}{64} = \left(\frac{5}{4}\right)^3\),
тогда:
\(\left(\frac{5}{4}\right)^x = \left(\frac{5}{4}\right)^3\),
откуда \(x = 3\).
Ответ: \(3\).

9) \(2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = \frac{1}{36} \cdot 6^{2x+5}\)
Представим \(6\) как произведение \(2 \cdot 3\):
\(6^{x-1} = (2 \cdot 3)^{x-1} = 2^{x-1} \cdot 3^{x-1}\),
тогда:
\(2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = 6^{x-1}\),
\(6^{x-1} = 6^{-2} \cdot 6^{2x+5}\),
\(x-1 = -2 + (2x+5)\),
\(x-1 = 2x+3\),
\(x = -4\).
Ответ: \(-4\).

10) \(325^{x-2} = 4^{6-\frac{3}{2}x}\)
Представим обе стороны через степень числа \(5\):
\(325 = 25^{\frac{3}{2}}, \quad 4 = 2^2\),
тогда:
\(25^{\frac{3}{2}(x-2)} = 2^{2(6-\frac{3}{2}x)}\),
\(3x — 10 = 12 — 3x\),
\(6x = 22\),
\(x = \frac{11}{3}\).
Ответ: \(\frac{11}{3}\).

11) \(3x^2 — 9 = 7x^2 — 9\)
Упростим уравнение:
\(x^2 — 9 = 0\),
\(x^2 = 9\),
\(x = \pm 3\).
Ответ: \(-3; 3\).

12) \(16^{5-3x} = 0.125^{5x-6}\)
Представим обе стороны через степень числа \(2\):
\(16 = 2^4, \quad 0.125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\),
тогда:
\(2^{4(5-3x)} = 2^{-3(5x-6)}\),
\(20 — 12x = 18 — 15x\),
\(3x = -2\),
\(x = -\frac{2}{3}\).
Ответ: \(-\frac{2}{3}\).