ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\sqrt{1 + 3^x — 9^x} = \sqrt{4 — 3 \cdot 3^x}
\)

\(
\sqrt{1 + 3^x — 9^x} = \sqrt{4 — 3 \cdot 3^x};
\)

\(
1 + 3^x — 9^x = 4 — 3 \cdot 3^x;
\)

\(
3 \cdot 3^{2x} — 4 \cdot 3^x + 3 = 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}
\)

\(
3^x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad 3^x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\)

\(
x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 1;
\)

Выполним проверку:

\(
1 + 3^0 — 9^0 = 1 + 1 — 1 = 1;
\)

\(
4 — 3 \cdot 3^0 = 4 — 3 \cdot 1 = 4 — 3 = 1;
\)

\(
1 + 3^1 — 9^1 = 1 + 3 — 9 = -5 < 0;
\)

Ответ: \(x = 0\).

Решим уравнение:

\(
\sqrt{1 + 3^x — 9^x} = \sqrt{4 — 3 \cdot 3^x}
\).

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\(
1 + 3^x — 9^x = 4 — 3 \cdot 3^x
\).

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

\(
1 + 3^x — 9^x — 4 + 3 \cdot 3^x = 0
\).

Упростим выражение:

\(
-9^x + 3^x + 3 \cdot 3^x — 3 = 0
\).

Сгруппируем подобные члены:

\(
-9^x + 4 \cdot 3^x — 3 = 0
\).

Представим \(9^x\) как \((3^x)^2\):

\(
— (3^x)^2 + 4 \cdot 3^x — 3 = 0
\).

Обозначим \(y = 3^x\), тогда уравнение примет вид:

\(
— y^2 + 4y — 3 = 0
\).

Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы избавиться от минуса перед \(y^2\):

\(
y^2 — 4y + 3 = 0
\).

Решим квадратное уравнение по формуле:

\(
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}
\),

где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).

Вычислим дискриминант:

\(
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4
\).

Найдем корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1
\),

\(
y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3
\).

Вернемся к исходной переменной \(3^x\):

\(
3^x = y_1 = 1 \quad \text{или} \quad 3^x = y_2 = 3
\).

Найдем \(x\):

\(
x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 1
\).

Выполним проверку:

Для \(x = 0\):

\(
\sqrt{1 + 3^0 — 9^0} = \sqrt{1 + 1 — 1} = \sqrt{1} = 1
\),

\(
\sqrt{4 — 3 \cdot 3^0} = \sqrt{4 — 3 \cdot 1} = \sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1
\).

Для \(x = 1\):

\(
\sqrt{1 + 3^1 — 9^1} = \sqrt{1 + 3 — 9} = \sqrt{-5}
\),

что невозможно, так как подкоренное выражение отрицательно.

Таким образом, единственный корень уравнения:

\(
x = 0
\).