ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\left( \sqrt{2 + \sqrt{3}} \right)^x + \left( \sqrt{2 — \sqrt{3}} \right)^x = 4.
\)

\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x + (\sqrt{2 — \sqrt{3}})^x = 4\).

1) Пусть \(y = \sqrt{2 + \sqrt{3}}\), тогда:
\(y^x + y^{-x} = 4\).

Умножим обе части уравнения на \(y^x\):
\(y^{2x} — 4 \cdot y^x + 1 = 0\).

Найдем дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 = 16 — 4 = 12\), тогда:
\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.
\]

2) Первое значение:
\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x = 2 + \sqrt{3}\).

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x = (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2\),
значит \(x = 2\).

3) Второе значение:
\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x = 2 — \sqrt{3}\).

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x = (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^{-2}\),
значит \(x = -2\).

Ответ: \(-2; 2\).

решим уравнение

\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x + (\sqrt{2 — \sqrt{3}})^x = 4\)

пусть \(y = \sqrt{2 + \sqrt{3}}\), тогда второе основание можно выразить как \(y^{-1} = \sqrt{2 — \sqrt{3}}\). уравнение примет вид

\(y^x + y^{-x} = 4\)

умножим обе части уравнения на \(y^x\), чтобы избавиться от отрицательной степени:

\(y^{2x} — 4 \cdot y^x + 1 = 0\)

получилось квадратное уравнение относительно \(y^x\). найдем его дискриминант:

\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12\)

найдем корни:

\(y^x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\)

первое значение:

\(y^x = 2 + \sqrt{3}\)

подставим \(y = \sqrt{2 + \sqrt{3}}\):

\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x = 2 + \sqrt{3}\)

заметим, что \(2 + \sqrt{3} = (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2\), значит

\(x = 2\)

второе значение:

\(y^x = 2 — \sqrt{3}\)

подставим \(y = \sqrt{2 + \sqrt{3}}\):

\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^x = 2 — \sqrt{3}\)

заметим, что \(2 — \sqrt{3} = (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^{-2}\), значит

\(x = -2\)

ответ: \(-2; 2\)