Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) Решите уравнение:
\(
4^{x+\frac{1}{2}} + \frac{2}{4^x} + 14 = 9\left(2^x + \frac{1}{2^x}\right);
\)
2)
\(
9^{x+\frac{1}{2}} + \frac{3}{9^x} + 26 = 16\left(3^x + 3^{-x}\right).
\)
1) \(4^{x+\frac{1}{2}} + \frac{2}{4^x} + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right)\);
\(
2^{2(x+\frac{1}{2})} + \frac{2}{2^{2x}} + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right);
\)
\(
2^{2x+1} + 2^{1-2x} + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right);
\)
\(
2 \cdot \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right) + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right);
\)
\(
2 \cdot \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right)^2 — 4 \cdot 2^x \cdot \frac{1}{2^x} + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right);
\)
Пусть \(y = 2^x + \frac{1}{2^x}\), тогда:
\(
2y^2 — 4 + 14 = 9y;
\)
\(
2y^2 — 9y + 10 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 — 80 = 1,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{9-1}{2 \cdot 2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{9+1}{2 \cdot 2} = 2.5;
\)
Первое значение:
\(
2^x + \frac{1}{2^x} = 2;
\)
\(
2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 1 = 0;
\)
\((2^x — 1)^2 = 0;\)
\(2^x = 1;\)
\(x = 0;\)
Второе значение:
\(
2^x + \frac{1}{2^x} = 2,5;
\)
\(2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}\)
\(2^{x_1} = \frac{5-3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2},\)
\(2^{x_2} = \frac{5+3}{2 \cdot 2} = 2;\)
\(x_1 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = 1;\)
Ответ: \(-1; 0; 1.\)
2)
\(9^{x+2} + \frac{3}{9^x} + 26 = 16(3^x + 3^{-x});\)
\(3^{2(x+1)} + \frac{3}{3^{2x}} + 26 = 16 \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right);\)
\(3^{2x+2} + 3^{1-2x} + 26 = 16 \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right);\)
\(3 \cdot \left(3^{2x} + \frac{1}{3^{2x}}\right) + 26 = 16 \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right);\)
\(\left(3^x + \frac{1}{3^x}\right)^2 — 6 \cdot \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right) + 26 = 16 \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right);\)
Пусть \(y = 3^x + \frac{1}{3^x}\), тогда:
\(3y^2 — 6y + 26 = 16y;\)
\(3y^2 — 16y + 20 = 0;\)
\(D = 16^2 — 4 \cdot 3 \cdot 20 = 256 — 240 = 16,\) тогда:
\(y_1 = \frac{16 — 4}{2 \cdot 3} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{16 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{10}{3};\)
Первое значение:
\(3^x + \frac{1}{3^x} = 2;\)
\(3^{2x} — 2 \cdot 3^x + 1 = 0;\)
\((3^x — 1)^2 = 0;\)
\(3^x = 1;\)
\(x = 0;\)
Второе значение:
\(3^x + \frac{1}{3^x} = \frac{10}{3};\)
\(3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0;\)
\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64,\) тогда:
\(3^{x_1} = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad 3^{x_2} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3;\)
\(x_1 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = 1;\)
Ответ: \(-1; 0; 1.\)
1)
Рассмотрим уравнение:
\(4^{x+\frac{1}{2}} + \frac{2}{4^x} + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right)\).
Представим \(4^{x+\frac{1}{2}}\) как \(2^{2(x+\frac{1}{2})}\):
\(2^{2(x+\frac{1}{2})} + \frac{2}{2^{2x}} + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right)\).
Упростим выражение:
\(2^{2x+1} + 2^{1-2x} + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right)\).
Заметим, что \(2^{2x+1}\) и \(2^{1-2x}\) можно записать через \(2^x + \frac{1}{2^x}\):
\(2 \cdot \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right) + 14 = 9 \left(2^x + \frac{1}{2^x}\right)\).
Обозначим \(y = 2^x + \frac{1}{2^x}\):
\(2y^2 — 4 + 14 = 9y\).
Приведем подобные члены:
\(2y^2 — 9y + 10 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 — 80 = 1\).
Рассчитаем корни:
\(y_1 = \frac{9-1}{2 \cdot 2} = 2, \quad y_2 = \frac{9+1}{2 \cdot 2} = 2.5\).
Рассмотрим первое значение \(y_1 = 2\):
\(2^x + \frac{1}{2^x} = 2\).
Запишем уравнение через квадрат:
\(2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 1 = 0\).
Распишем как полный квадрат:
\((2^x — 1)^2 = 0\).
Отсюда:
\(2^x = 1\).
Найдем \(x\):
\(x = 0\).
Рассмотрим второе значение \(y_2 = 2.5\):
\(2^x + \frac{1}{2^x} = 2.5\).
Запишем уравнение через квадрат:
\(2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\).
Рассчитаем корни:
\(2^{x_1} = \frac{5-3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad 2^{x_2} = \frac{5+3}{2 \cdot 2} = 2\).
Найдем \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 1\).
Ответ: \(-1; 0; 1\).
2)
Рассмотрим уравнение:
\(9^{x+2} + \frac{3}{9^x} + 26 = 16(3^x + 3^{-x})\).
Представим \(9^{x+2}\) как \(3^{2(x+1)}\):
\(3^{2(x+1)} + \frac{3}{3^{2x}} + 26 = 16 \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right)\).
Упростим выражение:
\(3^{2x+2} + 3^{1-2x} + 26 = 16 \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right)\).
Заметим, что \(3^{2x+2}\) и \(3^{1-2x}\) можно записать через \(3^x + \frac{1}{3^x}\):
\(3 \cdot \left(3^{2x} + \frac{1}{3^{2x}}\right) + 26 = 16 \left(3^x + \frac{1}{3^x}\right)\).
Обозначим \(y = 3^x + \frac{1}{3^x}\):
\(3y^2 — 6y + 26 = 16y\).
Приведем подобные члены:
\(3y^2 — 16y + 20 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 16^2 — 4 \cdot 3 \cdot 20 = 256 — 240 = 16\).
Рассчитаем корни:
\(y_1 = \frac{16 — 4}{2 \cdot 3} = 2, \quad y_2 = \frac{16 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{10}{3}\).
Рассмотрим первое значение \(y_1 = 2\):
\(3^x + \frac{1}{3^x} = 2\).
Запишем уравнение через квадрат:
\(3^{2x} — 2 \cdot 3^x + 1 = 0\).
Распишем как полный квадрат:
\((3^x — 1)^2 = 0\).
Отсюда:
\(3^x = 1\).
Найдем \(x\):
\(x = 0\).
Рассмотрим второе значение \(y_2 = \frac{10}{3}\):
\(3^x + \frac{1}{3^x} = \frac{10}{3}\).
Запишем уравнение через квадрат:
\(3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\).
Рассчитаем корни:
\(3^{x_1} = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}, \quad 3^{x_2} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3\).
Найдем \(x_1\) и \(x_2\):
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 1\).
Ответ: \(-1; 0; 1\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.