ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 2.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{При каких значениях параметра } a \text{ уравнение } 9^x — (a+1) \cdot 3^x + 3a — 6 = 0
\)
\(
\text{ имеет единственный корень?}
\)

Дано уравнение:
\(9^x — (a+1) \cdot 3^x + 3a — 6 = 0;\)
\(3^{2x} — (a+1) \cdot 3^x + (3a — 6) = 0;\)
\(D = (a + 1)^2 — 4(3a — 6);\)
\(D = a^2 + 2a — 1 — 12a + 24;\)
\(D = a^2 — 10a + 25 = (a — 5)^2,\) тогда:
\(
3^{x_1} = \frac{(a + 1) — (a — 5)}{2} = \frac{6}{2} = 3;
\)
\(
3^{x_2} = \frac{(a + 1) + (a — 5)}{2} = \frac{2a — 4}{2} = a — 2;
\)

Имеет единственный корень:
\(a — 2 \leq 0, \quad a — 5 = 0;\)
\(a \leq 2, \quad a = 5;\)

Ответ: \((-\infty; 2] \cup \{5\}\).

Дано уравнение:
\(9^x — (a+1) \cdot 3^x + 3a — 6 = 0\).

Преобразуем его, используя замену \(t = 3^x\), где \(t > 0\). Тогда уравнение принимает вид:
\(t^2 — (a+1) \cdot t + (3a — 6) = 0\).

Это квадратное уравнение относительно \(t\). Найдем его дискриминант:
\(
D = (a+1)^2 — 4(3a — 6).
\)

Раскроем скобки:
\(
D = a^2 + 2a + 1 — 12a + 24.
\)

Приведем подобные слагаемые:
\(
D = a^2 — 10a + 25.
\)

Заметим, что \(D\) является полным квадратом:
\(
D = (a — 5)^2.
\)

Так как \(D \geq 0\) при любом значении \(a\), уравнение имеет два корня. Найдем их:
\(
t_1 = \frac{(a + 1) — \sqrt{D}}{2} = \frac{(a + 1) — (a — 5)}{2} = \frac{6}{2} = 3,
\)
\(
t_2 = \frac{(a + 1) + \sqrt{D}}{2} = \frac{(a + 1) + (a — 5)}{2} = \frac{2a — 4}{2} = a — 2.
\)

Поскольку \(t = 3^x > 0\), необходимо, чтобы оба корня удовлетворяли этому условию. Рассмотрим каждый из них:
1. Первый корень \(t_1 = 3\) всегда положителен, поэтому ограничений на \(a\) он не накладывает.
2. Второй корень \(t_2 = a — 2\) должен быть положительным:
\(
a — 2 > 0 — a > 2.
\)

Таким образом, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы второй корень \(t_2 = a — 2\) совпадал с первым корнем \(t_1 = 3\). Приравняем их:
\(
a — 2 = 3 — a = 5.
\)

Теперь объединим условия:
— Если \(a \leq 2\), второй корень \(t_2 = a — 2\) становится неположительным, и уравнение имеет единственный положительный корень \(t_1 = 3\).
— Если \(a = 5\), оба корня совпадают (\(t_1 = t_2 = 3\)), и уравнение также имеет единственный положительный корень.

Следовательно, значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет единственный корень, принадлежат множеству:
\((-\infty; 2] \cup (5)\).